?3(x?1)?y?5 ①?5(y?1)?3(x?5) ② 2014-04-23
（1）整体代入．如解方程组?，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，
A、?3x+5）把②中的（看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y．然后求出方程组的
解．
?1x+3y?19 ①?3（2）整体加减，如?因为方程①和②的未知数??3x+1y?11 ②?3??a?1?a??4?a??6?a?14 B、? C、? D、?
?b?2?b??6?b?2?b?2x、y的系数正好对调，所以
二：【经典考题剖析】
x?37x??1 1. 解方程：2(x?1)?32k(x?3)k(x?2)1?2x?3x?2. 若关于x的方程：10?与方程5?2(x?1)?的解相同，求k543的值。
3. 在代数式ax?by?m中，当x?2,y?3,m?4时，它的值是零；当x??3,y??6,
可采用两个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①
得x－y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x，y． 7.两个方程二元一次方程与一次函数的区别和联系．区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系． 联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程．
8.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点， 9.用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解．
m?4时，它的值是4；求a、b的值。
4. 要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）
A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 10种
解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为张（x、y为非负数），
1、2、3、4、5。则有：2x?y?10?y?10?2x，0?x?5且x为整数?x?0、
5. 如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。
（1）当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；
（2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其它因素）。
11.2略解：（1）设CE线长为x千米，列方程可得x＝0.4。
?D?Cx（2）分A→D→C→B→E→A环线和A→D→C→E→B→E→A
?环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9小时， E0.4?故先后者。 1.6（二）：【课前练习】
1. 若(3?2x)∶2＝(3?2x)∶5，则x＝ 。
2. 如果
2x?32与x?3的值互为相反数，则x＝ 。 533. 已知??x?1?ax?by?12是方程组?的解，则a?b＝ 。
?y??1?4x?by?24?2m?1三：【课后训练】
B4. 若单项式ab2m2m?7与?ab是同类项，则m＝（ ）
3 A.2 B.±2 C.－2 D.4 5. 已知方程组??5x?y?3?x?2y?5与?有相同的解，则a、b的值为（ ）
?ax?5y?4?5x?by?1? 1. 若2x+1= 7，则x的值为（ ） A问题二图 A．4 B、3 C、2 D、－3
2. 有一个密码系统，其原理由下面的框图所示： 输入x → x+6 → 输出 当输出为10时，则输人的x＝______
3. 三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数为（ ） A．5 B．7 C．9 D．11
4. 已知2x+5y＝3，用含y的代数式表示x，则x=___________；当y=1时，x=________
xy+7-1-4y2x
5. 若3ab和－7ab是同类项，则 x、y 的值为（ ）
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1 学习改变命运，思考造就未来！
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A．x＝3，y ＝－1 B．x＝3，y＝ 3 C．x =1，y=2 D．x＝4，y＝2 6. 方程?
3?x+y=2没有解，由此一次函数y=2－x与y=－x的图象必定（ ）
2?2x+2y=3?y=2x?1的解是_______；那么一次函数y=2x—1和y=2x+3的图象的交点坐
y=2x+3?初三数学总复习
一元二次方程
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方
程。它的一般形式是 （其中 、 ）
它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方
程有 实数根；当△＜0时，方程有 实数根； 一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ） 2．一元二次方程的解法： ⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用
2
配方法解一元二次方程：ax＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断 6. 二元一次方程组?标是 ；
27. 已知a、b是实数，且2a?6?b?2?0，解关于x的方程：(a?2)x?b?a?1
8. 若a?b4b与3a?b是同类二次根式，求a、b的值. 9. 解方程（组）
1?xx?21.8?0.8x0.03?0.02xx?5（1）?3?（2）??；；
341.20.032?x?1y?22(x?y)????2x?3y?5?345（4）； （3）??x?3y?33x?2y?1????2y?x?3?410. 阅读下列解方程组的方法，然后回答并解
的解加以验证
(x+m)2=n的形式；⑤如果n?0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，
则原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b2?4ac?0)
注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。 ⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 3．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不
22
是一元二次方程．如关于x的方程（k－1）x+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确
22
定a、b、c的值；③求出b－4ac的值；④若b－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若2
b－4a＜0，则方程无解．
2
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解
学习改变命运，思考造就未来！
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四：【课后小结】
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一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．
（二）：【课前练习】
1. 用直接开平方法解方程(x?3)2?8，得方程的根为（ ）
A. x?3?23 B. x1?3?22,x2?3?22 C. x?3?22 D. x1?3?23,x2?3?23 2. 方程x2(x?1)?0的根是（ ）
A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1
3. 设(x?1)(x?2)?0的两根为x1、x2，且x1＞x2，则x1?2x2＝ 。 4. 已知关于x的方程4x?4kx?k?0的一个根是－2，那么k＝ 。
22
3. 已知(a2?b2)2?(a2?b2)?6?0，求a?b的值。
分析：已知等式可以看作是以a?b为未知数的一元二次方程，并注意a?b的值应为
非负数。
4. 解关于x的方程：(a?1)x2?2ax?a?0
分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当a＝1时，是一元一次方程；当a≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。
5. 阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．
2
已知：m是关于x的方程mx －2x＋m＝0的一个根，求m的值．
32
解：把x=m代人原方程，化简得m=m，两边同时除以m，得m =1，所以m=l，
把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是1．
2222224x? ＝(x?________)2 3二：【经典考题剖析】
5.x?2 1. 分别用公式法和配方法解方程：2x?3x?2
分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。用配方
法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）7(2x?3)?28； （2）y?2y?399?0
（3）2x?1?25x； （4）(2x?1)?3(2x?1)?2?0
分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。
22222三：【课后训练】
1. 如果在－1是方程x+mx－1=0的一个根，那么m的值为（ ） A．－2 B．－3 C．1 D．2 2. 方程2x(x?3)?5(x?3)的解是（ ） 55 A?x?3 B?x? C?x1?3,x2? D?x??3
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3. 已知x1，x2是方程x－x－3=0的两根，那么x1+x2的值是（ ） A．1 B．5 C．7 D、
49 44. 关于x的方程(k?1)x2?3(k?2)x?k2?42?0的一次项系数是－3，则k=_______ 5. 关于x的方程(a?1)xa2
?2a?1?x?5?0 是一元二次方程，则a=__________.
初三数学总复习
分式方程及应用
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
6. 飞机起飞时，要先在跑道上滑行一 段路程，这种运动在物理中叫做匀加速直线运动，其公
12
式为S=at，若某飞机在起飞前滑过了4000米的距离，其中a=20米／秒，求所用的时间
2t．
7. 已知三角形的两边长分别是方程x?3x?2?0的两根，第三边的长是方程
22x2?5x?3?0的根，求这个三角形的周长。
8. 解下列方程：
（1）x2?5x?2?0；（2）9(2x?3)2?4(2x?5)2?0；
?x??x?（3）?5(6x2?7x)2?2(6x2?7x)?3； ?????6?0；（4）?x?1??x?1?9. 在一个50米长，30米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。
10. 已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程
2x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0的两个实数根，第三边BC的长是5。
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；
3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验根的方法是将所求的根代
人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。
4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。
6. 分式方程的解法有 和 。
四：【课后小结】
（二）：【课前练习】
11?x??1的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） 1. 把分式方程
x?22?xA．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
23??2的根是（ ） xx?111 A.－2 B. C.－2， D.－2，1
2212mx?13. 当m=_____时，方程?2的根为
m?x22. 方程
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4. 如果
AB5x?4，则 A=____ B＝________. ??2x?5x?2x?3x?10ax?1??3有增根，则增根为_____，a=________. x?2x?25. 若方程
二：【经典考题剖析】
2xx52?x11 1. 解下列分式方程： （）1??1；（2）??1；（ 3）??；xx?32x?55?2xx?32x?3
4. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12
3
月份多6 m，求该市今年居民用水的价格．
33
解：设市去年居民用水的价格为x元／m，则今年用水价格为(1+25％) x元／m．根据题
意，得
3618??6， 解得x=1.8
(1?25%)xxx?2x2?13(x?1)1??1??（4）x??；（5）?2?4；（6）2?x2?2??3?x???1x?22?xx?1x?1x??x??分析：（1）用去分母法；（2）（3）（4）题用化整法；（5）（6）题用换元法；分别
经检验，x=1．8是原方程的解．所以(1?25%)x?2.25 ．
答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x元／m．
点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的关键是根
3
据题意找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的用量=6m.
5. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？
略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将x吨蔬菜精加工，用时间列方程解得x?60，故可算出其获利810000元，所以应选择第三种方案。
3
1x2?1设y?，y?x?，解后勿忘检验。
xx?1
?1111???A?B??xy3?11??32. 解方程组：? 分析：此题不宜去分母，可设＝A，?＝B得：?，
x2y112?A?B???????9??xy9用根与系数的关系可解出A、B，再求x、y，解出后仍需要检验。
3. 若关于x的分式方程
三：【课后训练】
1x?1?1去分母后，可得方程（ ） 1.方程?xx?1 A?2x?x?1?0;Bx?2x?0;C?2x?x?1?0;D?x?2x?2?0
22222m6?x??2有增根，求m的值。 x?2x?2x?42.解方程
2222?1?x?x，设y?x?x，将原方程化为（ ） 2x?x222 A?y?1?0;B?y?y?2?0;C?2y?y?0;D?y?y?2?0
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