第2章 基于经典算法的指纹图像去噪
法的基本思想是根据滤波器所输出的信号与需求信号之间做差，所得到的均方值最小为去噪准则，然后反过来进行图像滤波器参数的选定。
由于可以将维纳滤波作为一种在最小均方误差下所得出的最佳滤波器，因此可以找到一个线性滤波器，确保其均方误差最小，即
2e2?E??g?x,y??f?x,y????? （2-3）
其中，g?x,y?为输出图像，f?x,y?为原始图像。
首先对邻域大小为M*N的像素的局部均值和方差进行估计 1???f?x,y?M*Nx,y?? （2-4）
?2?1M*Nx,y???f?x,y???22 （2-5）
公式(2-4)、(2-5)中的?表示图像中像素点的邻域。
指纹图像可采用维纳滤波方法后的输出信息为：
?2??2g?x,y?????f?x,y???? （2-6） 2?公式(2-6)中的?即为指纹图像的方差。维纳滤波算法调整滤波器的输出主要依据特定指纹图像的局部方差，随着局部方差的增大，维纳滤波对指纹图像去噪的效果随即减弱。
22.2.3 中值滤波
中值滤波是图像去噪算法中典型的非线性图像去噪处理算法，该算法在1971 年由研究人员Turky 提出。中值滤波的本质是一个具有代表性的典型低通滤波器，该算法的基本原理是首相将图形邻域像素按照本身的灰度值进行一定的排序，然后再按照排序后的中间值替代原有其他灰度值。该方法与大多数的线性滤波去噪效果不同的是，基于中值滤波的图像去噪，既可以有效的消除图像中的噪声信息，同时也能有效的保护图像的边缘信息，不使得图像由于去噪而变的模糊，中值滤波算法在刚提出的的时候，主要是是用于数字信号处理的时间序列分析中，后来逐步被应用到图像的处理分析领域，并在图像的去噪领域获得了非常好的效果。
中值滤波算法的定义，设一组数x1,x2,,xi,,xn，这n个数值的大小顺序排列为
xi1?xi2?xi3??xin，则
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第2章 基于经典算法的指纹图像去噪
y?med?x1,x2,?x?n???i??2??,xn?????1??x?n??x?n??i??1?2?i?????2??2???? （2-7）
定义：指纹图像由数集?xij? 表示，这里?i,j? 取遍z2或者z2 的某个子集。一个包含该滤波器窗口A，其尺寸为N??2k?1??2k?1? ，对于指纹图像?xij,?i,j??z2? 的二维中值滤波由下列定义：
yij?med?xi?r,j?s,?r,s??A? （2-8）
中值滤波在指纹图像去噪中应用的步骤：
首先需要假设一个滤波器窗口，然后将该窗口移动覆盖到图像所有的点位，然后用窗口中所计算出的原始图像像素灰度的中值，来代替窗中心点像素灰度值。
设二维指纹图像信息的大小为k?l,0?i?k?1,0?j?l?1，为使二维中值滤波器所输出的二维指纹图像信息大小仍为k?l，在二维指纹图像信息所包含行、列起始端及末尾端分别延伸k个点。
对于一个二维中值滤波器，滤波窗口A可以可以分为子窗口或不同类型的窗口。由于子窗口的选择直接影响到二维中值滤波器边缘消除噪声效果的优劣，为了在有效保留图像边缘的同时进一步有效的消除噪声，通常选用全方位子窗口方法。
与一维中值计算不同，由于二维中值滤波器的可分离性，因此可以先计算各子窗内的中值，最后再计算窗口A的中值。
可分离二维中值滤波N?n?n??2k?l?2k?1??运算，即为连续反复应用按行进行的一维中值滤波?n?2k?1?，然后再按列进行的一维中值滤波?n?2k?1?。同理，先按列后行也可，即：
Zij?med?xi,j?k,,xij,,xi,j?k??? （2-9）
其中，最后的输出吉维尼Zij。第K个观测值与每行第一个观测值或最后一个观测值具有相同值的点应该进行扩展，对于列而言，也同样需要扩展。
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第3章 基于小波变换算法的指纹图像去噪
第3章 基于小波变换算法的指纹图像去噪
3.1 小波理论基础
小波变换是在傅立叶变换和Gabor变换的基础上改进产生的。小波变换理论有效的解决了傅立叶变换和Gabor变换对于数字信号处理的不足，大大的加快了数字图像处理技术的发展。下面介绍一下小波变换的数学原理。
小波函数定义为：假设??t?为一平方可积函数，既??t??L2?R?，如果其傅里叶变换????满足下述条件：
C???????2R*?d??? （3-1）
其中R*?R??0?表示非零实数全体，该条件也称为“容许性条件”。有时也将??t?称为小波母函数。
对任意的一组实数对?a,b?，其中，参数a必须为非零实数，称如下函数：
1?t?b???a,b??t?????a?a? （3-2） 为由小波母函数??t?通过平移与伸缩得到的一个函数族，我们将这个函数族称为小波。函数中 a 表示尺度因子，a 变换时相当于伸缩窗函数，如果 a 大于 1，则窗函数将拉伸，即增大窗口时宽，如果 a 小于 1，则窗函数压缩，即窗口时宽减少；b 称为平移因子，改变 b 值相当于平移窗函数。通过对 a 与 b 值的调控使得对突变信号或者非平稳信号的处理变得灵活自如。
小波函数的主要特性有： (1) 带通性
C???(2) 波动性与零均值
????2R*?d????lim??0?????0 （3-3）
lim??0?????0???0??0????t?dt?0R （3-4）
分析上式不难发现小波变换的母函数一定是正负交替存在，即该函数是呈波性的，并且正负波动具有均等的幅度。
(3) 快速衰减性，即说明小波具有时频局部化功能
为了进一步满足时频局部化的要求，小波母函数通常会选择择紧支集的函数。
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第3章 基于小波变换算法的指纹图像去噪
3.2 指纹图像小波分解
下面对指纹图像的小波分解进行说明，通过给我们用矩阵来爱表特定的指纹图像，依次首先对该图像矩阵进行行变换，然后进行列变换，经过上述的处理，在小波域就相当于进行了一次小波的分解。将一个 N*N 大小的图像用一次小波分解处理后会得到四个的如下的图像矩阵，即四个子图像。如图3.1（b）所示，在对指纹图像进行小波多层分解过程中，每一次小波分解都是对小波域中的最低频子带进行分解，再将该子带中的指定低频带再次进行分解，这样就可以获得下一层的频带，如图3.1（c）所示的即是第二层小波分解的示意图。当对指纹图像做M分解后，则会得到 3M+1 个子带图像。
LL1 LL0 LH1 HL1 HH1 LH1 HH1 LH1 2 LL2 HL2 HH HL1 （a）原始图像 （b）一次小波分解 （c）二次小波分解
图3.1 小波分解示意图
（a）原始图像 （b）一次小波分解 （c）二次小波分解
图3.2 指纹图像小波分解示意图
从图3.2可非常明显的显示出，经过小波分解后的指纹图像图像的主要信息都聚集在低频子带中，因此可以说经过小波分解后的低频带图像就是原始图像的近似，在该频带的分解细说中包含了原始图像的大量信息，而高频带的部分主要保留了指纹图像的轮廓、边缘等细节信息，且能量较小。
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第3章 基于小波变换算法的指纹图像去噪
3.3 基于小波变换的指纹图像去噪
小波变换是变换域处理算法中极具代表性的算法，也是目前指纹图像去噪中效果最好的算法，该算法具备能量集中特定，即当将待去噪的指纹图像变换到小波域后，原有的图像所有的信息，即图像的能量通过小波变换后全部集中到个别的几个小波系数上去了，其这些小波系数的绝对值较大，分布较为零散，通过小波变换以后，图像的有用信息主要集中在这些小波系数上，而在采集过程中混入的噪声等信息，则在小波系数中体现的较少，因此可以通过取出小波变换中绝对值较小的小波系数来实现小波变换的指纹图像去噪效果，该方法成为小波阈值方法[5]。
小波阈值方法取出图像噪声的基本过程为：待处理的图像经过小波变换以后，图像低频带上主要体现了图像原有信息的能量，而混入的噪声信号能量主要分布于各个高频带上。因此，通过大量研究表明，我们可以只认为幅度较大的小波系数即为原始图像的信息，而幅度小的系数代表了混入图像的噪声信息。因此，通过选取一个合适的阈值，只保留系数幅度大于阈值的小波系数，而将系数幅度小于阈值的小波系数作为混入的噪声去除。然后，对处理后的包含主要幅度值的系数的图形进行逆变换，通过重构图像得到了去除噪声的图像。在上述过程中，最为关键的是小波阈值参数的选取，阈值选取的优劣将直接影响到小波变换对于图像去噪效果的优劣。基于小波变换的指纹图像的去噪研究主要按照一下几个步骤开展：
(1) 对给定的指纹库中的图像进行小波系数分解； (2) 对分解以后所得到的小波系数进行处理分析；
(3) 对系数经过处理以后的图形按照小波逆变换进行图像的重构，得到最终的图形。
3.3.1 小波基的选取
由于指纹图像的采集和获取过程环境较为复杂，所以要求处理指纹图像的小波基的滤波性能具有空间多方面的能力，并且在图形的边缘或者图像的某些特定细节的突变点位置能够获得局部极大值的小波系数，因此，采用平滑函数的本身或者其一阶导数作为小波基函数。
通过大量的实验分析发现，Daubechies小波是具有紧支集的一组正交归一性的小波族，该小波可以满足上述小波基选取的需求，通过选择合适的N值，可以调整Daubechies小波的光滑程度，这样的处理原则，既能保证图像去噪效果较好、边缘及细节保留较好，同时能够最大程度减小算法的复杂度，降低计算时间。
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