（注：正确写出X的值1分）
11C1C3P(X?0)?13?, 120C4C51111C1C2?C3C311P?X?1???, 1120C4C511C3C6P?X?2??12?,………………………………………………………………………………10分 1C4C520（注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）
所以X的分布列为
X P 0 3 201 11 202 6 20 ……………………………………………11分 所以X的数学期望EX?0?311623.……………………………………………12分 ?1??2??20202020（注：若学生将X写成? 本次不扣分，但要告诉学生，在高考中会不得分） 18.(本题满分14分)
【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,PB?BC?6,PE?CE?9,
在?PBF中,PF?BF?20?16?36?PB,所以PF?BF ………………………………………2分 在图1中,易得EF?62??12?3?4??61, ………………………………………3分 在?PEF中,EF?PF?61?20?81?PE,所以PF?EF ………………………………………4分 又BF?EF?F,BF?平面ABED,EF?平面ABED,所以PF?平面ABED. ………………6分
A x z D P D A P
C
H F
解法二图
2222222E F 解法一图 C y B E B （注：学生不写BF?EF?F扣1分）
(Ⅱ)方法一:以D为原点,建立空间直角坐标系D?xyz如图所示,则A?6,0,0?,P6,8,25,
??????????????E?0,3,0?,F?6,8,0?,所以AP?0,8,25,FP?0,0,25,EF??6,5,0?, …………8分
????????5???25?z?0??x??y?n?FP?0设平面PEF的法向量为n??x,y,z?,则????,即?,解得?6 ???6x?5y?0???n?EF?0?z?0令y??6,得n??5,?6,0?,………………………………………………………………………………12分
6
????AP?n8128148设直线AP与平面PEF所成角为?,则sin?????. ???42784?61APn所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为方法二:过点A作AH?EF于H,
由(Ⅰ)知PF?平面ABED,而AH?平面ABED
所以PF?AH,又EF?PF?F,EF?平面PEF,PF?平面PEF, 所以AH?平面PEF,
所以?APH为直线AP与平面PEF所成的角. ………………………………………………………9分 在Rt?APF中,AP?
81281. ………………………………………………14分 427AF2?PF2?64?20?221 …………………………………………11分
在?AEF中,由等面积公式得AH?在Rt?APH中,sin?APH?48AF?AD…………………………………………………13分 ?EF61AH16381281??? AP42761221所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为
19.(本题满分14分)
81281. ………………………………………………14分 427x2y2【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0),
ab1?9?4, ……………………………………………………………………1分 依题意,2b?2所以b?2 …………………………………………………………2分 又c?1, …………………………………………………………3分
所以a?b?c?5, …………………………………………………………4分
222x2y2??1. …………………………………………………………………………5分 所以椭圆C的方程为54x2y2??1), ……………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 设Q?x,y?(其中54圆P的方程为x??y?t??t?1,………………………………………………………………………7分
222因为PM?QM, 所以QM?PQ?t2?1?x2??y?t??t2?1…………………………………………………8分
22??12?y?4t??4?4t2 …………………………………………………9分 4当?4t??2即t?且QM1时,当y??2时,QM取得最大值, ……………………………………………10分 23231,解得t??(舍去). ………………………………………………11分 282 7
max?4t?3?
当?4t??2即0?t? 且QM1时,当y??4t时,QM取最大值, …………………………………………12分 232211,解得t2?,又0?t?,所以t?.………………………………13分
4228max?4?4t2? 综上,当t?232时,QM的最大值为. ……………………………………………………………14分 42…………………………………………………1分
20.(本题满分14分)
【解析】(Ⅰ)由2b1?a1?a2，可得a2?2b1?a1?24.
2a2由a?b1b2，可得b2??36.
b122 …………………………………………………………………2分
（Ⅱ）因为an、bn、an?1成等差数列，所以2bn?an?an?1…①. ………………………………………3分
2因为bn、an?1、bn?1成等比数列，所以an?1?bnbn?1， …………………………………4分
因为数列?an?、?bn?的每一项都是正数，所以an?1?bnbn?1…②. 于是当n?2时，an?bn?1bn…③.
…………………………………………………………………4分
将②、③代入①式，可得2bn?bn?1?bn?1， …………………………………………………………5分 因此数列
?b?是首项为4，公差为2的等差数列，
n（注：学生不写上述陈述扣1分）
所以bn?b1??n?1?d?2n?2，于是bn?4?n?1?. …………………………………………………6分 由③式，可得当n?2时，an?bn?1bn?4n2?4?n?1??4n?n?1?. …………………………………7分 当n?1时，a1?8，满足该式子，所以对一切正整数n，都有an?4n?n?1?.…………………………8分 （注：学生从特殊到一般归纳猜想出an,bn 的解析式各1分，正确证明通项公式各2分） （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为方法一:首先证明因为
2211112???L?2?.…………………………9分 723474n?4n?1712?11?????（n?2）.
4n2?4n?17?nn?1?12?11?12?????7n2?7n?8n2?8n?2 ??2224n?4n?17?nn?1?4n?4n?17n?7n?n2?n?2?0??n?1??n?2??0, …………………………10分
所以当n?2时，当n?1时，
11112??11?1??1212?1??L?2???????L?????????. …12分 7234n?4n?177??23?nn?1???7727
……………………………………………………………………13分
12?. 77综上所述，对一切正整数n，有方法二:
11112??????……………………………14分 a1?1a2?1a3?1an?171111?11???????.
4n2?4n?14n2?4n?3?2n?1??2n?3?4?2n?12n?3?当n?3时，
111 ??L?27234n?4n?1 8
?111??11??11?1??11???1???????????L????????? 7234??59??711?2n?32n?12n?12n?3??????当n?1时，
111?11?1112?????????. ……………………………………………………12分 7234?57?714147…………………………………………13分
1211112?；当n?2时，????. 77723777（验证不写扣1分）
综上所述，对一切正整数n，有方法三:
11112???...??……………………………14分 a1?1a2?1a3?1an?171111?11???????. 224n?4n?14n?1?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?当n?4时,
111 ??L?27234n?4n?1?1111??11??11?1??11???1????????????L????????? 723472??79??911??2n?32n?1??2n?12n?1??11112????. ……………………………………………………12分 723471471211112当n?1时，?；当n?2时，????；
777237771111112当n?3时，??????. ……13分
72347714147（验证不写扣1分）
?综上所述，对一切正整数n，有21.(本题满分14分)
【解析】f?x?的定义域为?0,???.……………………………………………………………………………1分
11112???...??……………………………14分a1?1a2?1a3?1an?171(Ⅰ)若a?1，则f?x??x?x?1??lnx，此时f?1??2.
215，所以f??1??, …………………………………………………2分 2x25所以切线方程为y?2??x?1?，即5x?2y?1?0. ……………………………………………3分
2
因为f??x??2x?1?1（Ⅱ）由于f?x??xx?a?lnx，x??0,???.
21⑴ 当a?0时，f?x??x2?ax?lnx，
214x2?2ax?1， ……………………………………………4分 f??x??2x?a??2x2x?a?a2?4?a?a2?4令f??x??0，得x1?， ?0，x2??0（舍去）
44且当x??0,x1?时，f??x??0；当x??x1,???时，f??x??0，
9
?a?a2?4所以f?x?在?0,x1?上单调递减，在?x1,???上单调递增,f?x?的极小值点为x?. …5分
41?2x?ax?lnx,x??a??2⑵ 当a?0时，f?x???. ……………………………………6分 ??x2?ax?1lnx,0?x??a?2??a?a2?4?a?a2?44x2?2ax?1① 当x??a时，f??x??，令f??x??0，得x1?,x2???a(舍去).
442x?a?a2?42若，则f??x??0，所以f?x?在??a,???上单调递增； ??a，即a??42?a?a2?42若??a，即??a?0， 则当x???a,x1?时，f??x??0；当x??x1,???时，f??x??0，
42所以f?x?在区间??a,x1?上是单调递减，在?x1,???上单调递增. ……………………………………7分
1?4x2?2ax?1② 当0?x??a时，f??x???2x?a?. ?2x2x令f??x??0，得?4x2?2ax?1?0，记??4a2?16， ……………………………………8分
若??0，即?2?a?0时，f??x??0，所以f?x?在?0,?a?上单调递减；
?a?a2?4?a?a2?4若??0，即a??2时，则由f??x??0得x3?，x4?且
440?x3?x4??a，
当x??0,x3?时，f??x??0；当x??x3,x4?时，f??x??0；当x??x4,?a?时，f??x??0，
所以f?x?在区间?0,x3?上单调递减，在?x3,x4?上单调递增；在?x4,?a?上单调递减. ………………9分
?a?a2?4?a?a2?4综上所述,当a??2时,f?x?的极小值点为x?和x??a，极大值点为x?；
44当?2?a??2时,f?x?的极小值点为x??a； 2?a?a2?42当a??时,f?x?的极小值点为x?.…………………………………………………10分
42（Ⅲ）函数f?x?的定义域为x??0,???. 由f?x??0，可得x?a?lnx…（*） …………………………………………………11分 2xlnx（ⅰ）当x??0,1?时，?0，x?a?0，不等式（*）恒成立；
2xlnx（ⅱ）当x?1时，?0，即1?a?0，所以a?1；…………………………………………………12分
2xlnxlnx（ⅲ）当x?1时，不等式（*）恒成立等价于a??x?恒成立或a??x?恒成立.
2x2xlnx?x2?1?lnx11?2x22令g?x???x?,则g??x??.令??x???x?1?lnx,则???x???2x???0, 2xx2x2x?x2?1?lnx而??1???1?1?ln1??2?0，所以??x???x?1?lnx?0，即g??x???0， 22x22 10
因此g?x???x?所以a??x?lnx在?1,???上是减函数，所以g?x?在x??1,???上无最小值， 2xlnx不可能恒成立. 2xlnx1?lnx?2x2?1?lnx令h?x???x?，则h??x???1???0，因此h?x?在?1,???上是减函数，
2x22x22x所以h?x??h?1???1，所以a??1.又因为a??1，所以a??1.
综上所述，满足条件的a的取值范围是??1,???.…………………………………………………………14分
11