1取AD的中点G，连接GF，?F为PD的中点，FG?平面ABCD，且FG?PA?1
211?VP?ABCF?VP?ABCD?VF?ACD??23?2??3?1?3． ??????????12分
33【原题】如图，已知PA?平面ABCD，PA?AB?AD?2，BC?CD?2，AC与BD交于E点， F是PD的中点． P（Ⅰ）求证：PB∥平面AFC； （Ⅱ）求多面体PABCF的体积． 【判断E为BD的中点较考题难一点.】 19．（本小题满分13分）
设函数f(x)?x3?ax2?a2x?3，g(x)?ax2?2x?1，其中实数a?0． （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)与g(x)在区间(a,a?2)上均为增函数，求a的取值范围．
【命题意图】本题考查导数的运算，导数符号与函数单调性之间的关系，综合考查运用知识分析和解决问题的能力，中等题．
a解：（Ⅰ）?f?(x)?3x2?2ax?a2?3(x?)(x?a)，又a?0
3ABECFD?当x??a或x?aa时， f?(x)?0；当?a?x?时，f?(x)?0， 33aa?f(x)的增区间是(??,?a),(,??)，f(x)的减区间是(?a,)． ???????????6分
33a1（Ⅱ）?a?0时，f(x)在(??,?a),(,??)上是增函数，g(x)在(,??)上是增函数????8分
3a??a?0?a?由题意得?a?，解得a?1． ?????????12分
3?1?a??a??实数a的取值范围为a?1． ?????????????13分
【原题】设函数f(x)?x3?ax2?a2x?3，g(x)?ax2?2x?1，其中实数a?0． （Ⅰ）a?0时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)与g(x)在区间(a,a?2)上均为单调函数，求a的取值范围．
20．（本小题满分13分）
设动点P(x,y)(y?0)到定点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求点P的轨迹方程；
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（Ⅱ）若圆心在曲线C上的动圆M过点A(0,2)，试证明圆M与x轴必相交，且截x轴所得的弦长为定值． 【命题意图】本题考查抛物线方程、圆的方程有关知识，考查运算求解能力，中等题．
解：（Ⅰ）依题意知，动点P到定点F(0,1)的距离等于P到直线y??1的距离，曲线C是以原点为顶
点，F(0,1)为焦点的抛物线．
∵
p?1 ∴p?2 2∴ 曲线C方程是x2?4y ?????????????5分 （Ⅱ）设圆心为M(a,b)，∵圆M过A(0,2)， ∴圆的方程为 (x?a)2?(y?b)2?a2?(b?2)2
M 令y?0得：x?2ax?4b?4?0
∵点M(a,b)在抛物线x2?4y上，∴a?4b，
22又∵??(2a)?4(4b?4)?4a?16b?16?16?0
y A G O x 2E 2∴圆M与x轴必相交 ?????????????9分 设圆M与x轴的两交点分别为E (x1,0)，G(x2,0) ∵x1?x2?2a，x1?x2?4b?4
∴|EG|2?(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1?x2?(2a)?4(4b?4)?4a?16b?16
∴EG=4．即截得的弦长为定值． ?????????????13分 【原题】设动点P(x,y)(y?0)到定点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若圆心在曲线C上的动圆M过点A(0,2)，试探究随着M在C上运动，圆M与x轴是否相交？若
相交，圆M截x轴所得的弦长的变化情况． 21．（本题满分13分）
已知数列?an?的首项a1?5，an?1?2an?1． （Ⅰ）证明：数列?an?1?是等比数列；
（Ⅱ）若数列?nan?的前n项和为Tn，试比较2Tn与23n2?13n的大小．
【命题意图】本题考查等比数列，错位相减法，考查灵活运用知识解决问题的能力，较难题．
7
22
解：（Ⅰ）?an?1?2an?1又a1?5,a1?1?0
?an?1?1?2?an?1?
n?N*，
an?1?1?2即数列?an?1?是等比数列 ???5分 an?1（Ⅱ）由（Ⅰ）知an?3?2n?1, ?????????7分
2n从而Tn?a1?2a2?????nan=?3?2?1??23?2?1???n(3?2?1)． 2n=32?2?2???n?2-?1?2???n?
????令Pn?2?2?22?????n?2n，2Pn?22?2?23?3?24?????n?2n?1 错位相减得，Pn?(n?1)?2n?1?2，?Tn?3(n?1)?2n?1?由2Tn?(23n2?13n)?12(n?1)?2n?12(2n2?n?1)?
n12?n?1??2n?12?n?1?(2n?1)=12(n?1)??2?(2n?1)??n(n?1)?6 ?????????9分 2
①
当n?1时，①=0，所以2Tn?(23n2?13n)； 当n?2时，①=－12?0所以2Tn?(23n2?13n)
x当n?3时，n?1?0又由函数y?2与y?2x?1可知2?2n?1
n2所以?n?1???2??2n?1????0即①?0从而2Tn?(23n?13n)． ????????????13分
n【原题】已知数列?an?的首项a1?5，Sn?1?2Sn?n?1． （Ⅰ）证明：数列?an?1?是等比数列；
（Ⅱ）若数列?nan?的前n项和为Tn，试比较2Tn与23n2?13n的大小．
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