以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE． 解答： 证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F． ∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE， 又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE． ∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°． 又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD． ∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．
11．（2012?牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下： 如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH． 又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH． ∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
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（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= 7 ．点P到AB边的距离PE= 4或10 ．
考点： 分析： 等腰三角形的性质；三角形的面积．1418944 （1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH； （2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH． 解答： 解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH， ∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH； （2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH． ∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7． 分两种情况：
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①P为底边BC上一点，如图①． ∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4； ②P为BC延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．
12．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）． （2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
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在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结
果）． 考点：分析：解答：
等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．1418944 （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可； （2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可； （3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解：（1）故答案为：=． （2）过E作EF∥BC交AC于F， ∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC， ∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°， ∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF， ∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°， 19
∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF， 在△DEB和△ECF中 ，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=． （3）解：CD=1或3， 理由是：分为两种情况：①如图1 过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM， ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1， ∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=， ∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3； ②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EM， ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1， ∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，20