∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=1
13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
考点： 分析： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．1418944 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可． 解答： 解：∠F=∠MCD， 理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°， 在△ACE和△ABE中 ∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC， 21
∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA， ∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA， ∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD， ∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM， ∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等）， ∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°， 又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．
14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论． （2）求∠BFD的度数．
考点： 分析： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．1418944 （1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD，从而证得结论； （2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°． 解答： （1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA． 在△ABE和△CAD中，
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∴△ABE≌△CAD∴AD=BE． （2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD， 又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF， 求证：AE=CF．
考点： 分析： 全等三角形的判定与性质．1418944 根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF． 解答： 证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°， 又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．
16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．
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考点： 分析： 解答：
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．1418944 可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF． 解：AE与BF相等且垂直， 理由：在△AEO与△BFO中， ∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF， ∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF． 延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO， 由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF． 24
17．（2006?郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． （1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明； （2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
考点： 分析： 等腰三角形的性质．1418944 （1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明； （2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积． 解答： 解：（1）DE+DF=CG． 证明：连接AD， 则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB?CG=AB?DE+AC?DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF． （2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG． 理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB?DE=AB?CG+AC?DF
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