所以e?c3，所以c?3，则有b2?a2?c2?3， ?a2x2y2所以椭圆C的方程为??1 …………4分
123（2）（i）设M(x1,y1)，N(x2,y2).
?x?my?3,?直线l与椭圆C方程联立?x2y2，
?1,???123化简并整理得(m2?4)y2?6my?3?0， …………5分 ∴y1?y2??6m3yy?? ，1222m?4m?46m224∴x1?x2?m(y1?y2)?6??2， ?6?2m?4m?43m218m236?12m2. x1x2?my1y2?3m(y1?y2)?9??2??9?m?4m2?4m2?42因为以弦MN为直径的圆过坐标原点，
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所以OM?ON，∴OM?ON?0，即x1x2?y1y2?0，
1136?12m23112m? .…………8分 代入，得，解得，所以??0m??4m2?4m2?42（ii）由题意，N1(x2,?y2)，所以直线MN的方程为y?y1?令y?0，得
y1?y2(x?x1)，
x1?x2?6my1(x1?x2)x1y2?x2y1(my1?3)y2?(my2?3)y1m2?4x?x1?????3?4
?6my1?y2y1?y2y1?y2m2?4所以点P的坐标为(4,0) …………10分
?PMN的面积为S?PMN?11|PF||y1?y2|??1?(y1?y2)2?4y1y2 221?6m2?3 ?(2)?4(2?)2m?4m?4m2?1 2322m(?4)
?23m2?1?219?6m2?1?2312(m2?1)(9)?6m2?1?123?1 6?6当且仅当m?1?9，即m??2时等号成立，
m2?1故?PMN的面积存在最大值，最大值为1. …………12分
21．(本小题满分12分)
解：（1）因为f(x)?ae2x?ex?x，所以f?(x)?2ae2x?ex?1， 因为f(x)在x?0处取得极值，
?2a+1+1?0，解得a?-1． 所以f?(0）验证：当a?-1时，f?(x)??（2ex?1)(ex?1)，
易得f(x)在x?0处取得极大值． …………3分 （2）因为g(x)?f(x)-(a+3)ex=ae2x?(a?2)ex?x，
所以g?(x)?2ae2x?(a?2)ex?1?2ae2x?(a?2)ex?1=（aex?1)(2ex?1)
…………4分
①若a?0，则当x?(-?,-ln2)时，g?(x)?0， 所以函数g(x)在(-?,-ln2)上单调递增；
当x?(-ln2,??)时，g?(x)?0，?函数g(x)在(-ln2,??)上单调递减．………5分 ②若a?0，g'(x)=（aex?1)(2ex?1)，
当a?2时，易得函数g(x)在(-?,?lna)和(-ln2,??)上单调递增， 在(?lna,?ln2)上单调递减；
当a?2时，g?(x)≥0恒成立，所以函数g(x)在(-?,??)上单调递增； 当0?a?2时，易得函数g(x)在(-?,?ln2)和(-lna,??)上单调递增，
在(?ln2,?lna)上单调递减； …………8分 （3）证明：当a?2时， 因为f(x1)?f(x2)?3e1e所以2e2x1xx2?0，
?ex1?x1?2e2x2?ex2?x2?3ex1ex2?0，
所以2(e1?e2)?(e1?e2)?e1e2?x1?x2=e1令t?x1+x2，?(t)?et?t， 则??(t)?et?1?0，
xx2xxxxx+x2?(x1?x2)．
当t?(-?,0)时，??(t)?0，所以函数?(t)?et?t在(-?,0)上单调递减； 当t?(0,?)时，??(t)?0，所以函数?(t)?et?t在(0,?)上单调递增；
所以函数?(t)?et?t在t?0时，取得最小值，最小值为1． …………10分 所以2(ex1?ex2)2?(ex1?ex2)?1，
即2(ex1?ex2)2?(ex1?ex2)-1?0，所以e1?exx2?1 …………11分 2xxx?x1当x1+x2?t?0时，e1?e2?2e12?2?此时不存在x1,x2满足等号成立条件，
2所以e1?e
xx2?1． …………12分 222.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
解：（1）由??2?0?????，得x?y?4?y?0?设P?x1,y1?，Q?x,y?，
22则x?x1?2y,y?1，即x1?2x?2,y1?2y，代入x12?y12?4?y?0?， 222222得?2x?2???2y??4，∴?x?1??y?1?y?0?； …………5分
（2）轨迹C是一个以?1,0?为圆心，1半径的半圆，如图所示，
设M?1?cos?,sin??，设点M处切线l的倾斜角为?
?3?2?5????由l斜率范围??3,?， …………7分 ?，可得
336??而?????2，∴
?6????3，∴
32?3， ?1?cos??22
?32?3?所以，点M横坐标的取值范围是?,?． …………10分
22??
23.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲
??2x?2,x??3??3?x?1 解：（1）f(x)?f(x?4)?|x?1|?|x?3|??4,?2x?2,x?1?当x??3时，由?2x?2?8，解得x??5；当?3?x?1时，f(x)?8不成立； 当x?1时，由2x?2?8，解得x?3；
所以不等式f(x)?f(x?4)?8的解集为xx??5或x?3 …………5分
??f(ab)bb??f()，即f?ab??af?（2）??，即ab?1?a?b． aa?a?因为f(a?1)?1，f(b?1)?1，所以a?1，b?1，又有a?0， 所以ab?1?a?b?ab?2ab?1?a?2ab?b22?22??22???a2?1??b2?1??0，
所以ab?1?a?b，故所证不等式成立． …………10分