解：（1）f?x??3sin?xcos?x?cos?x
2?311??1?sin2?x?cos2?x? ?sin?2?x??? 2226?2?y?f?x?的最小正周期为T?? ，
即：
??12???????1 ?f?x??sin?2x???
6?22??2???17?1???sin2????sin???1 ???36262????2??f??3（2）
?2a?c?cosB?bcosC
∴由正弦定理可得：?2sinA?sinC?cosB?sinBcosC
?2sinAcosB?sinBcosC?cosBsinC?sin?B?C??sin???A??sinA
sinA?0 ?cosB?1 2B??0，?? ?B??3
2?2?A?C???B?? ?A??0，??
3?3??2A????7????1?????，?? ?sin?2A?????,1? 6?66?6??2????1?1???f?A??sin?2A??????1,?
6?2?2??
19. （本小题满分12分）
海岛B上有一座高为10米的塔,塔顶的一个观测站A,上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上,且俯角为30°的C处,一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上,且俯角45°的D处.(假设游船匀速行驶) (1)求CD的长;
(2)又经过一段时间后,游船到达海岛B的 正西方向E处,问此时游船距离海岛B多远.
解:(1)在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AB=10米,则BC=10 3米.在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AB=10米,则BD=10米.在Rt△BCD中,∠DBC=75°+15°=90°,则CD= ????2+B??2=20(米). (2)在Rt△BCD中,∠BCD=30°,又因为∠DBE=15°,所以∠CBE=105°,所以
45°∠CEB=.在△BCE中,由正弦定理可知????sin30° 所以EB==5 6(米). sin45°
20（本小题满分14分）
????sin30°=????sin45°, 已知函数f(x)?(2?a)(x?1)?2lnx，g(x)?xe1?x(a?R,e为自然对数的底数) （1）当a?1时，求f(x)的单调区间；
（2）对任意的x?(0,),f(x)?0恒成立，求a的最小值；
（3）若对任意给定的x0??0,e?,在?0,e?上总存在两个不同的xi(i?1,2)，
使得f(xi)?g(x0)成立，求a的取值范围。 解：（1）当a?1时，f(x)?x?1?2lnx,f?(x)?1?由f?(x)?0,x?2，由f?(x)?0,0?x?2.
故f(x)的单调减区间为?0,2?,单调增区间为?2,???. （2）即对x?(0,),a?2?
122, x122lnx恒成立。 x?122(x?1)?2lnx2lnx??22lnx1x,x?(0,)，则l'(x)??x?, 令l(x)?2?2x?12(x?1)(x?1)22122?2(1?x)?2,x?(0,),m?(x)??2???0, x2xxx211m?x?在(0,)上为减函数，于是m(x)?m()?2?2ln2?0,
2211'从而，l(x)?0，于是l(x)在(0,)上为增函数,l(x)?l()?2?4ln2,
222lnx故要a?2?恒成立，只要a??2?4ln2,???,即a的最小值为2?4ln2
x?1再令m(x)?2lnx?（3）g?(x)?e1?x?xe1?x?(1?x)e1?x,当x?(0,1)时，g?(x)?0,函数g(x)单调递增；
当x??1,e?时，g?(x)?0，函数g(x) 单调递减
所以，函数g(x)在?0,e?上的值域为?0,1?. 当a?2时，不合题意； 当a?2时， f?(x)?2?a?故0?
g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e?e1?e?0,
2(2?a)x?2??xx(2?a)(x?x2)2?a,x??0,e?
22?e,a?2? ① 2?ae此时，当x 变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下：
x f?(x) f(x) (0,2) 2?a— 2 2?a0 最小值 ?2? ,e??2?a??+ 单调增 单调减 ,x?0,f(x)???, 22f()?a?2ln,f(e)?(2?a)(e?1)?22?a2?a?,对任意给定的x0??0,e?，在区间?0,e?上总存在两个不同的xi(i?1,2),
使得f(xi)?g(x0)成立，当且仅当a满足下列条件
22??)?0,?a?2ln?0,?f( 即2?a2?a?????f(e)?1,?(2?a)(e?1)?2?1.令h(a)?a?2ln②
③
22,a?(??,2?), 2?ae2ah?(a)?1?2[ln2?ln(2?a)]??1??,令h?(a)?0，得a?0,a?2,
2?aa?2当a?(??,0)时，h?(a)?0,函数h(a)单调递增 当a?(0,2?)时，h?(a)?0,函数h(a)单调递减 所以，对任意a?(??,2?),有h(a)?h(0)?0,
2e2e
2e3. ④ 由③式解得：a?2?e?1综合①④可知，当a????,2?即②对任意a?(??,2?)恒成立。
??3?时,对任意给定的x0??0,e?, e?1??在?0,e?上总存在两个不同的xi(i?1,2), 使f(xi)?g(x0)成立。