第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
第69炼 直线与圆锥曲线位置关系
一、基础知识：
（一）直线与椭圆位置关系
1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，
x2y2下面以直线y?kx?m和椭圆：2?2?1?a?b?0?为例
ab?y?kx?m（1）联立直线与椭圆方程：?22 2222bx?ay?ab?（2）确定主变量x（或y）并通过直线方程消去另一变量y（或x），代入椭圆方程得到关
22222于主变量的一元二次方程：bx?a?kx?m??ab，整理可得：
2?ak22?b2?x2?2a2kxm?a2m2?a2b2?0
（3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① ??0?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② ??0?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ ??0?方程没有实根?直线与椭圆相离
3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系
1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离
2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定
x2y2以直线y?kx?m和椭圆：2?2?1?a?b?0?为例：
ab（1）联立直线与双曲线方程：??y?kx?m?bx?ay?ab222222，消元代入后可得：
?b2?a2k2?x2?2a2kxm??a2m2?a2b2??0
222（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为ak?b?0，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为b?ak，有可能为零。所以要分情况进行讨论
222第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
当b?ak?0?k??线相交，只有一个公共点 当b?ak?0??时直线与双曲线相交 当b?ak?0?k?222222222b且m?0时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲abb?k?时，常数项为??a2m2?a2b2??0，所以??0恒成立，此aabb或k??时，直线与双曲线的公共点个数需要用?判断： aa① ??0?方程有两个不同实根?直线与双曲线相交 ② ??0?方程有两个相同实根?直线与双曲线相切 ③ ??0?方程没有实根?直线与双曲线相离
注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切
（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为
???,?a???a,???，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当x?a时，点
位于双曲线的右支；当x?a时，点位于双曲线的左支。对于方程：
?b222?a2k2?x2?2a2kxm??a2m2?a2b2??0，设两个根为x1,x2
bba2m2?a2b2?0，所以x1,x2异号，即① 当b?ak?0???k?时，则x1x2??222aab?ak2交点分别位于双曲线的左，右支
bba2m2?a2b2?0，所以② 当b?ak?0?k?或k??，且??0时，x1x2??2aab?a2k2222x1,x2同号，即交点位于同一支上
（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点?关系的判定 ① k??b刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置ab且m?0时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程a中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点
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② ?bb?k?时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直aabb或k??时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：aa线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。 ③ b?ak?0?k?222直线不一定与双曲线有公共点（与?的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。
（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离
1、位置关系的判定：以直线y?kx?m和抛物线：y2?2px?p?0?为例
?y?kx?m2联立方程：?2??kx?m??2px，整理后可得：
?y?2pxk2x2??2km?2p?x?m2?0
（1）当k?0时，此时方程为关于x的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与抛物线相交
（2）当k?0时，则方程为关于x的二次方程，可通过判别式进行判定 ① ??0?方程有两个不同实根?直线与抛物线相交 ② ??0?方程有两个相同实根?直线与抛物线相切 ③ ??0?方程没有实根?直线与抛物线相离 2、焦点弦问题：设抛物线方程：y?2px， 过焦点的直线l:y?k?x?2??p?，对应倾斜角为?，与抛物线交于?（斜率存在且k?0）
2?A?x1,y1?,B?x2,y2?
?y2?2px2p??2?联立方程：?p??k?x???2px，整理可得： ?2???y?k?x?2????k2p2kx??kp?2p?x??0
4222p2（1）x1?x2? y1y2??p2
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k2p?2p2k2p?2p1??（2）AB?x1?x2?p? ?p??2p1??2?k2k2k???cos2??1?2p? ?2p?1? ?2p1?????222?tan???sin??sin?（3）S?AOB111p2pp2??dO?l?AB???OF?sin???AB???sin??2? 2222sin?2sin?（四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式： 1、直线与圆锥曲线问题的特点：
（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），
（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设A?x1,y1?,B?x2,y2?，至于A,B坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂
（3）通过联立方程消元，可得到关于x（或y）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出x1,x2,y1,y2（所谓“设而不求”）
（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程
这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点A?x1,y1?,B?x2,y2?为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“
2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。 3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：
（1）斜截式：y?kx?m，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去y则此形式比较好
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用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件
（2）x?my?b，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程后消去x时使用，多用于抛物线y2?2px（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直接体现斜率，当m?0时，斜率k?1 ml上两点A?x1,y1?,B?x2,y2?，4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线l:y?kx?m，
?1?所以AB?1?kx1?x2或AB?1???y1?y2
?k?22（1）证明：因为A?x1,y1?,B?x2,y2?在直线l上，所以??y1?kx1?m
?y2?kx2?m ?AB??x1?x2?22?y?kx1?m2可得： ??y1?y2?，代入?1y?kx?m?222AB??x1?x2?????kx1?m???kx2?m?????x1?x2?2?x1?x2????k?x1?x2??? 22?1?k2?1?k2x1?x2
2?1?同理可证得AB?1???y1?y2
?k?（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果A,B为直线与曲线的交点（即AB为曲线上的弦），则
x1?x22（或
y1?y2）可进行变形：
x1?x2??x1?x2?2??x1?x2??4x1x2，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。
5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方
x2y2程2?2?1?a?b?0?为例，设直线y?kx?m与椭圆交于A?x1,y1?,B?x2,y2?两点，ab则该两点满足椭圆方程，有：
?x12y12??1??a2b2 ?22?x2?y2?1??a2b2