第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
y1?y2?x?x2y1?y2?，即，从结构上可联想到韦达定理，设m:y?k1?x?2?，k?P?1,2?x1?x22??2?x22??y?1联立椭圆方程：?2??2k12?1?x2?8k12x?8k12?2?0，可得：
?y?k?x?2?1?4k118k12，所以y1?y2?k1，则，即x?4k?k??x1?x2??2?x??121222k1?12k12k1?11k1k2??
2思路二：线段PP12为椭圆的弦，且问题围绕着弦中点P展开，在圆锥曲线中处理弦中点问
?x122?y1?1??2题可用“点差法”，设P，两式作差，可得：1?x1,y1?,P2?x2,y2?，则有?2?x2?y2?12??212122x1?x2??y12?y2?0??x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0，发现等式中???22出现与中点和PP12斜率相关的要素，其中P?y1?y2?x1?x2y1?y2?，所以，且k?,2?x1?x22??211y1?y21?y1?y2??y1?y2?，所以等式化为?k1??0即?k1k2?0，所以k1k2??
22x1?x22?x1?x2??x1?x2?答案：D
小炼有话说：两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。 （1）涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜率的联系
（2）涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法
例7：已知点A?1,2?在抛物线C:y?4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D,E，
2直线AD,AE的斜率分别为kAD,kAE，若直线DE过点P??1,?2?，则kAD?kAE?（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 思路：设D?x1,y1?,E?x2,y2?，进而所求?kAD?kAE?y1y2?2?y1?y2??4x1x2??x1?x2??1，所以可从直
线DE入手，设直线DE:y?2?k?x?1?，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可化简
第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
kAD?kAE?2
解：设D?x1,y1?,E?x2,y2?
?kAD?y1?2y?2 ,kAE?2x1?1x2?1?kAD?kAE?y1?2y2?2y1y2?2?y1?y2??4 ① ??x1?1x2?1x1x2??x1?x2??1设P??1,?2?，则DE:y?2?k?x?1?
2??y?4x联立方程：?，消去x可得：
y?2?kx?1????ky2?4y?4k?8?0
?y1?y2?44k?8,y1y2? kk2y1y2?y1?y2?4?2k4?4k?2k2?k2?4k?4x1?x2?? x1x2? ?kk216k2代入①可得：
?kAD?kAE4k?84?2??4kk?2?2 2k?4k?44?4k?2k??1k2k2答案：C
例8：已知抛物线C:y?4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M,N两点，且
2MF?2NF，则直线l的斜率为（ ）
A. ?2 B. ?22 C. ?22 D. ? 24思路一：从点的坐标出发，因为M,F,N三点共线，从而MF?2NF可转化为
????????MF??2NF，考虑将向量坐标化，F?1,0?，设M?x,?,?N2x1,y1，有?2y????????y1??2y2，设直线l:x?my?1，联立抛物MF??1?1x,?1,??，所以?y,NF??1?2x2y线方程消元后可得：y?4my?4?0，利用韦达定理可得：?2?y1?y2?4m，再结合
yy??4?12第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
y1??2y2，消去y1,y2即可得m??22，直线l:x??y?1，即可得到斜率为?22 44思路二：从所给线段关系MF?2NF恰好为焦半径出发，联系抛物线的定义，可考虑
M,N向准线引垂线，垂足分别为P,Q，便可得到直角梯形PMNQ，由抛物线定义可知：
MP?MF,NQ?NF，将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为?PMF。不妨设M在
第一象限。考虑将角放入直角三角形，从而可过N作NT?MP于T，则antNMT?TNTM，
因为MF?2而TM?PM?PT?PM?QN?MF?NF?NF，且NFMN?MF?N3?FTNTM，利用勾股定理可得：TN?NFMN?MT?22NF，
22从而tanNMT??22，即k?22，当M在第四象限时，同理，可得k??22 综上所述：k??22 答案：B
x2?y2?1的左、例9：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆右焦点分别为F1,F2，设A,B2是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，
AF2与BF1交于点P，AF1?BF2?率是（ ）
23，则直线AF1的斜3A. 3 B. 2 C. 2 D. 1 2思路：先设出直线AF1:x?my?1,BF2:x?my?1，只需一个等量条件即可求出m，进而求出斜率。考虑与椭圆联立方程，分别解出A,B的纵坐标，然后利用弦长公式即可用m表示AF1,BF2：AF1?2?m2?1??mm2?1m?22,BF2?2?m2?1??mm2?1m?21?1 m2，可将已
知等式转化为关于m的方程，从而解出m?1，所以斜率为
第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
解：由椭圆方程可得：F1??1,0?，F2?1,0?
设AF1:x?my?1,BF2:x?my?1，A?x1,y1?,B?x2,y2?，依图可知：y1?0,y2?0 联立AF1与椭圆方程可得：
?x2?2y2?12??my?1??2y2?1，整理可得： ??x?my?1?m2?2?y2?2my?1?0
?y?2m?22?m2?1?2?m?2?2?m?2?m2?1?m?22
?y1?m?2?m2?1?m?222
?AF1?1?my1?yF1?1?my1?同理可得：?BF2?22?m2?1??mm2?1m?2
2
2?m2?1??mm2?1m?222?m2?1??mm2?12?m2?1??mm2?12323 ?AF1?BF2????223m?2m?232mm2?122即，解得：m?1 ?2m?23? 直线AF1的斜率k?答案：D
1?1 m小炼有话说：（1）在运用弦长公式计算AF1,BF2时，抓住焦点的纵坐标为0的特点，使用纵坐标计算线段长度更为简便，因此在直线的选择上，本题采用x?my?b的形式以便于消去x得到关于y的方程
（2）直线方程x?my?b，当m?0时，可知斜率k与m的关系为：k?1 mx2y2??1的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A,B,C,D四例10：过椭圆43第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
点，则
11的值为（ ） ?ABCDA.
117 B. C. 1 D. 8612思路：首先先考虑特殊情况，即AB斜率不存在。则AB为通径，AB?3；CD为长轴，所以CD?4，从而
117??。再考虑一般情况，所求AB,CD为焦点弦，所以ABCD12考虑拆成两个焦半径的和，如设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB?2a?e?x1?x2?，从而想到联立直线与椭圆方程并使用韦达定理整体代入，同理CD也为焦半径。设AB的斜率为
k，则CD的斜率为?可
111，所以AB,CD均可用k进行表示，再求出的值即?kABCD解：若AB,CD分别与坐标轴平行，不妨设AB?x轴，
2b2则AB为椭圆的通径，?AB?
ax2y2??1可得：a?2,b?3,c?1 由432b23?AB??2??3
a2因为CD?AB ?CD为长轴长，即CD?2a?4
?117?? ABCD121 k当AB,CD斜率均存在时，设AB斜率为k，由CD?AB可得CD斜率为?由椭圆方程可得：F?1,0? ? 设AB:y?k?x?1?，A?x1,y1?,B?x2,y2? 联立方程可得：
?2?y?k?x?1?22 消去y可得：3x?4k?x?1??12，整理后为： ?223x?4y?12???4k2?3?x2?8k2x?4k2?12?0