第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：
121222x?x?y?y???1212??0 ① 22ab11?2?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0 ab??x1?x2??1y?y?y1?y2??0 ② 1x?x??122?22?1a2b2y1?y2?x?x2y1?y2?，AB中点的坐标为?1,?，
x1?x22??2由等式可知：其中直线AB的斜率k?这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线AB的斜率与AB中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及A,B坐标的平方差问题中也可使用点差法。 二、典型例题
x2y2??1有公共点，则实数m的取值范围例1：不论k为何值，直线y?kx?1与椭圆
7m是（ ）
A. ?0,1? B. ?1,??? C. ?1,7???7,??? D. ?0,7? 思路一：可通过联立方程，消去变量（如消去y），得到关于x的二次方程，因为直线与椭圆有公共点，所以??0在x?R恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出m即可 解：??y?kx?122?mx?7y?7m22?mx2?7?kx?1??7m，整理可得：
2?m?7k?x?14kx?7?7m?0
????14k??4?m?7k2??7?7m??0
2即?1?m?7k?0?m??7k?1
22?m???7k2?1?max?1
?m?7 ?m?,????7?? ?1,7思路二：从所给含参直线y?kx?1入手可知直线过定点?0,1?，所以若过定点的直线均与
第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
x2y2??1，即椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入?0,1?后
7m1?1?m?1，因为是椭圆，所以m?7，故m的取值范围是?1,7???7,??? 2m答案：C
小炼有话说：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键
（2）本题还要注意细节，椭圆方程中x2,y2的系数不同，所以m?7
x2y2??1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一例2：已知双曲线
124个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）
??33?33???A. ???3,3?? B. ?3,3 C. ??3,3? D. ??3,3?
??????x2y23??1可得渐近线方程为：y??思路：由x，若过右焦点的直线与右支只有一个1243交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即
k?333???k? 333答案：C
小炼有话说：本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案，代数的推理如下：
x2y2??1可知F?4,0?，设直线l:y?k?x?4?，联立方程可得： 由
12422?2?x?3y?1222?x?3kx?4?12，整理后可得： ?????y?k?x?4??1?3k?x22?24k2x??48k2?12??0
当1?3k?0?k??273时，8x?28?0?x?，即位于双曲线右支，符合题意
23第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
当1?3k?0时，??24k2?22?2??48?k2?1??0 ?4?1?3k2????48k?12?????直线与双曲线必有两个交点，设为?x1,y1?,?x2,y2?
因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点
48k2?12?0 ?x1x2?0 ，即?21?3k?3k2?1?0??33 ?k?33综上所述：?33 ?k?332例3：已知抛物线C的方程为x?1y，过点A?0,?1?和点B?t,3?的直线与抛物线C没有2公共点，则实数t的取值范围是（ ）
??2??2,??? A. ???,?1???1,??? B. ???,????22????C. ??,?22?22,?? D. ??,?2????????2,??
?思路：由A,B两点可确定直线AB的方程（含t），再通过与抛物线方程联立，利用??0即可得到关于t的不等式，从而解得t的范围
解：若t?0，则直线AB:x?0与抛物线有公共点，不符题意 若t?0，则kAB?44 ?AB:y?x?1，与椭圆联立方程： tt?21x?y?21?22?x?x? ?4t2?y?x?1?t??2tx2?4x?t?0 ?直线与抛物线无公共点
???16?8t2?0?t?2或t??2
答案：D
y2?1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点，若实数?使得例4：过双曲线x?22AB??的直线恰有3条，则??_______
第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
思路：由双曲线方程可知F?3,0，当l斜率不存在时，可知AB为通径，计算可得：
?AB?4，当l斜率存在时，设直线l:y?kx?3，与椭圆方程联立，利用弦长公式可
得AB???4?1?k2?2?k2为关于k的表达式，即
4?1?k2?2?k2??。可解得：k2?2??4或
??42??42??42??4?0或?0，即???2时，可得k?0，仅有一解，不符。若
??4??4??42??42??4?0且?0，则每个方程只能无解或两解。所以可知当??4时，题意。若
??4??4k2?方程有两解，再结合斜率不存在的情况，共有3解。符合题意，所以??4
y2?1可得a?1,b?2,c?3 ?F解：由双曲线x?22?3,0，
?2b2?4 当AB斜率不存在时，l的方程为x?3 ?AB为通径，即AB?a若直线l斜率存在，不妨设为k
则设l:y?kx?3，A?x1,y1?,B?x2,y2?
22?2x?y?2?22联立直线与椭圆方程：?消去y可得：2x?kx?3y?kx?3????????2 ?2，整理可得：
?2?k?x22?23k2x??3k2?2??0
2???23k??2?4?2?k2??3k2?2??16k2?16
241?k???? ??AB?1?k2x1?x2?1?k2??2?k22?k2?可得：k2?当
2??42??42或k? ① ??4??42??4?0时，即??2，则方程①的解为k?0，只有一解，不符题意 ??42??4?0，即???2，则方程①的解为k?0，只有一解，不符题意 同理，当
??42??42??4?0且?0时，则每个方程的解为0个或两个，总和无法达到3个，不符当
??4??4题意
所以若AB??的直线恰有3条，只能??4，方程①解得：k??2 2第九章 第69炼 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何
? 满足条件的直线AB的方程为：x?3，y?答案：??4
22x?3，y??x?3 22????x2y2??1，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线y?4x?m对称，则例5：已知椭圆43m的取值范围是（ ）
A. ?1313213213 B. ? ?m??m?131313131313213213 D. ? ?m??m?13131313?2x0?x1?x2，由
2y?y?y?012C. ?思路：设椭圆上两点A?x1,y1?,B?x2,y2?，中点坐标为?x0,y0?，则有?22??3x1?4y1?122222?3x?x?4y?y?0，变形可得：中点问题想到点差法，则有?2????12122??3x2?4y2?123?x1?x2??x1?x2??4?y1?y2??y1?y2??0 ①由对称关系和对称轴方程可得，直线
AB的斜率k??1y1?y2?1?，所以方程①转化为：6x0?8y0?????0?y0?3x0 ，?4x1?x2?4??x0??mAB由对称性可知中点?x0,y0?在对称轴上，所以有y0?4x0?m，所以解得：?，
y??3m?022依题意可得：点?x0,y0?必在椭圆内，所以有3x0?4y0?12，代入可得：
3??m??4??3m??12 ，解得：?答案：D
22213213 ?m?1313x2P，?y2?1交于P例6：过点M??2,0?的直线m与椭圆12的中点为1,P2两点，线段PP2设直线m的斜率为k1?k1?0?，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（ ） A. 2 B. ?2 C.
11 D. ? 22思路一：已知m与椭圆交于P?,P2?x2,y?1,P2两个基本点，从而设P1?x1,y12，可知