第十六章 动量守恒定律
一、冲量和动量
（一）知识要点
1.动量：按定义，物体的质量和速度的乘积叫做动量：p=mv ?动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。 ?动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。
2.冲量：按定义，力和力的作用时间的乘积叫做冲量：I=Ft
?冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。 ?冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和力的方向相同）。如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。
?高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。
?要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。
（二）例题分析
例1：质量为m的小球由高为H的光滑斜面顶端无初速滑到底端m 过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？
解：力的作用时间都是t?2H1?2gsin?sin?2H，力的大小依次gH 是mg、mgcosα和mgsinα，所以它们的冲量依次是：
IG?m2gHm2gH,IN?,I合?m2gH
sin?tan?特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。
例2：一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度水平向右运动，碰到一块竖硬的大理石后被弹回，沿着同一直线以2m/s的速度水平向左运动，碰撞前后钢球的动量有没有变化？变化了多少？
解：取水平向右的方向为正方向，碰撞前钢球的速度v=2m/s，碰撞前钢球的动量为P=mv=0.2×2kg·m/s=0.4kg·m/s。碰撞后钢球的速度为v′=0.2m/s，碰撞后钢球的动量为
p′=m v′=-0.2×2kg·m/s=-0.4kg·m/s。
△p= p′-P=-0.4kg·m/s-0.4kg·m/s=-0.8kg·m/s，且动量变化的方向向左。
v v v′ 45o 45o
v′
例3：一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45o，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45o，速度大小仍为2m/s，用作图法求出钢球动量变化大小和方向？
解：碰撞前后钢球不在同一直线运动，据平行四边形定则，以p′和P为邻边做平行四边形，则△p就等于对解线的长度，对角线的指向就表示的方向：
?p?∴?p?2?(?p)222△p 0.4?0.4kg?m/s
?0.42kg?m/sp′ 45o 45o -p 方向竖直向上。
动量是矢量，求其变化量可以用平行四边形定则：在一维情况下可首先规定一个正方向，这时求动量的变化就可以简化为代数运算了。
例4（12分）如图所示，在光滑、固定的水平杆上套着一个光滑的滑环 平冲量作用，使M摆动，且恰好刚碰到水平杆。问
（1）M在摆动过程中，滑环对水平杆的压力的最大值是多少？ （2）若滑环
不固定，仍给M以同样大小的冲量作用，则M摆起的最大高度为多少？
，滑环下通
过一根不可伸长的轻绳悬吊一重物M，轻绳长为L，将滑环固定在水平杆上，给M一个水
解：（1）机械能守恒 （2分）
M通过最低点T最大 （2分）
∴ （1分）
再对滑环受力分析 （2分）
（2）不固定机械能仍守恒 初速度：
（2分）
水平动量守恒 （2分）
∴ ∴ （1分）
二、动量定理
（一）知识要点
1.动量定理：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。既I=Δp ?动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量（或者说是物体所受各外力冲量的矢量和）。
?动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。
?现代物理学把力定义为物体动量的变化率：F??P（牛顿第二定律的动量形式）。
?t?动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。
2.利用动量定理定性地解释一些现象
3.利用动量定理进行定量计算
利用动量定理解题，必须按照以下几个步骤进行： ?明确研究对象和研究过程。研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的质点组。质点组内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。
?进行受力分析。只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力。所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用力（内力）会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。如果在所选定的研究过程中的不同阶段中物体的受力情况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。
?规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负。
?写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量（或各外力在各个阶段的冲量的矢量和）。 ?根据动量定理列式求解。
（二）例题分析
例1：以初速度v0平抛出一个质量为m的物体，抛出后t秒内物体的动量变化是多少？ 解：因为合外力就是重力，所以Δp=Ft=mgt 有了动量定理，不论是求合力的冲量还是求物体动量的变化，都有了两种可供选择的等价的方法。本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要方便得多。当合外力为恒力时往往用Ft来求较为简单；当合外力为变力时，在高中阶段只能用Δp来求。
例2：鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？
解：两次碰地（或碰塑料垫）瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变化相同。根据Ft=Δp，第一次与地板作用时的接触时间短，作用力大，所以鸡蛋被打破；第二次与泡沫塑料垫作用的接触时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破。（再说得准确一点应该指出：鸡蛋被打破是因为受到的压强大。鸡蛋和地板相互作
用时的接触面积小而作用力大，所以压强大，鸡蛋被打破；鸡蛋和泡沫塑料垫相互作用时的接触面积大而作用力小，所以压强小，鸡蛋未被打破。）
例3：某同学要把压在木块下的纸抽出来。第一次他将纸迅速抽出，木块几乎不动；第二次他将纸较慢地抽出，木块反而被拉动了。这是为什么？
F 解：物体动量的改变不是取决于合力的大小，而是取决于合力冲量的大小。在水平方向上，第一次木块受到的是滑动摩擦力，一般来说大于第二次受到的静摩擦力；但第一次力的作用时间极
短，摩擦力的冲量小，因此木块没有明显的动量变化，几乎不动。第二次摩擦力虽然较小，但它的作用时间长，摩擦力的冲量反而大，因此木块会有明显的动量变化。
例4：质量为m的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t1到达沙坑表面，又经过时间t2停在沙坑里。求：?沙对小球的平均阻力F；?小球在沙坑里下落过程
A
所受的总冲量I。
解：设刚开始下落的位置为A，刚好接触沙的位置为B，在沙中到达的最低点为C。 B ?在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为t1+t2，而阻
C 力作用时间仅为t2，以竖直向下为正方向，有：
mg(t1+t2)-Ft2=0, 解得：F?mg?t1?t2?
t2 ?仍然在下落的全过程对小球用动量定理：在t1时间内只有重力的冲量，在t2时间
内只有总冲量（已包括重力冲量在内），以竖直向下为正方向，有：
mgt1-I=0,∴I=mgt1 这种题本身并不难，也不复杂，但一定要认真审题。要根据题意所要求的冲量将各个外力灵活组合。若本题目给出小球自由下落的高度，可先把高度转换成时间后再用动量定理。当t1>> t2时，F>>mg。
例5：质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为v0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？
解：以汽车和拖
/
vv0 车系统为研究对象，m M 全过程系统受的合外力始终为
?M?m?a，该过程经历时间为v/μg，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理
0
可得：
?M?m?a?v0?M?m??a??g?v
?Mv???M?m?v0,?v??0?g?Mg 这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是?M?m?a。