第八章：简谐运动、机械波 （4）波的图象的特点 波图象的重复性：相隔时间为周期的整数倍的两个时刻的波的图象是相同的； M点的对应位置在M′处，便知原时刻M向下运动。 ③上下坡法 沿波的传播方向看去，“上坡”处的质点向下振动。波传播方向双向性：不指定波的传播方向时，图\下坡\处的质点向上振动。如图所示，简称“上坡下，象中波可能向x轴正向或x轴负向传播； 下坡上” （5）横波图象的应用： ①可知波动中质点的振幅和波长 ②若已知波的传播方向，可知介质质点的振动方向，反之亦然。 ③相邻的波峰波谷点间的质点振动方向相同 ④相邻平衡位置间以波峰（或波谷）对称的质点振动方向相反． ⑤若知波速v，可求此时刻以后的波形图，方法是把波形图平移Δx=vΔt的距离。 （6）波的传播方向与质点的振动方向关系确定方法。 ①质点带动法（特殊点法）： 在波的图形的某质点M上，沿波的传播方向画一箭头，再沿竖直方向向曲线的同侧画另一箭头，则该箭头即为质点振动方向，如图所示 （7）画出再经?t时间波形图的方法： 由波的形成传播原理可知，后振动的质点总是重复先振动质点的运动，若已知波的传播方向而判断质点振动方向时，可在波源一侧找与该点距离较近（小于①方法一、平移法： （1）确定?t=？ （2）算出?t时间内波的传播距离?s = v?t = ？ （3）把整个波形沿波的传播方向平移?s 。 ④同侧法 ?）的前一质点，如果前一质点在该质点下4方，则该质点将向下运动（力求重复前面质点的运2、方法二、特殊点法： 动），否则该质点向上运动。例如向右传的某列波，（1）找两点（原点和?/4的点并确定其运动方某时刻波的图象如图所示，试判断质点M的振动方向； 向，可在波源一侧找出离M较近的前一质点M′，M′（2）确定经?t = ？T时间内这两点所达到的位在M下方，则该时刻M向下运动。 置； ②微平移法： （3）按正弦规律画出新的波形。 波的干涉、衍射现象，了解多普勒效应 （1）波的叠加原理：在两列波重叠的区域，任何一个质点的总位移都等于两列波分别引起的位移的矢量和。 所谓微移波形，即将波形沿波的传播方向平衡微（2）波的独立传播原理：在两列波重叠的区域，小的一段距离得到经过微小一段时间后的波形图，据质点在新波形图中的对应位置，便可判断该质点每一列波保持自己的特性互不干扰继续前进。 (3)波的干涉:①产生稳定干涉现象的条件：频率相的运动方向。如图所示，原波形图（实线）沿传播方向经微移后得到微小一段时间的波形图（虚线），同；振动方向相同；有固定的相位差。②两列相干 第八章：简谐运动、机械波 波的波峰与波峰（或波谷与波谷）相遇处是振动最所以，弹簧振子做的运动是简谐运动 强的地方，波峰与波谷（或波谷与波峰）相遇处是【例题】试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简振动最弱的地方。③驻波：是一种特殊的干涉现象。谐运动 驻波的特点是两波节间的各质点均做同时向下或同★解析：如图所示，设振子的平衡位置为O，向时向上，但振幅不同的同步调振动；波形随时间变下方向为正方向，此时弹簧的形变为x0 ，根据胡克化，但并不在传播方向上移动。 (4)波的衍射:①波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。②能够发生明显的衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。 (5)多普勒效应 当波源或者接受者相对于介质运动时，接受者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应。 (6)声波:①发声体的振动在介质中的传播就是声 波。人耳能听到的声波的频率范围在20Hz到20000Hz之间。②频率低于20Hz的声波叫次声波。mg?kx0?0 ① ③频率高于20000Hz的声波叫超声波。④空气中的声波是纵波。⑤能够把回声与原声区别开来的最小当振子向下偏离平衡位置为x时，回复力（即合时间间隔为0.1S。⑥声波也能发生反射、干涉和衍外力）为 射等现象。声波的共振现象称为声波的共鸣。 F回?mg?k(x?x0) ② 『题型解析』 类型题： 必须弄清简谐运动的判断方法 将①代人②得：F回??kx，可见，重物振动时定律及平衡条件有 要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定的受力符合简谐运动的条件 这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平类型题： 简谐运动中各物理量的变化特点 衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指简谐运动涉及到的物理量较多，但都与简谐运动向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻物体相对平衡位置的位移x存在直接或间接关系 力是不是足够小。 然后再找出平衡位置并以平衡位【例题】弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运置为原点建立坐标系，再让物体沿着x轴的正方向偏动，在振子向平衡位置运动的过程中： 离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复A．振子所受的回复力逐渐增大 力为F=-kx，则该物体的运动是简谐运动。 B．振子的位移逐渐增大 【例题】两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。 C．振子的速度逐渐减小 D．振子的加速度逐渐减小。 ★解析：在振子向平衡位置运动的过程中，易知x减小，根据上述关系很容易判断，回复力F、加速度a减小；速度V增大。即D选项正确 【例题】有一弹簧振子做简谐运动，则（ CD ） A．加速度最大时，速度最大 B．速度最大时，位移最大 C．位移最大时，回复力最大 D．回复力最大时，加速度最大 O X X ★解析：证明：以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。设振子沿X正方向发生位移x，则物体受到的合力为 F=F1+F2=-k1x-k2x=-(k1+k2)x=-kx。 第八章：简谐运动、机械波 类型题： 必须弄清简谐运动的对称性 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。 理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。 【例题】如图所示。弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s，从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为：( B ) C、重球下落至d处获得最大加速度。 D、由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。 ★解析：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。 C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，Va ，Vb 以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a，，使ab=ab，根据简谐运动的对称性，可知，重球在o b c ，d a a、a的加速度大小相等，方向相反，如图4所示。 ，而在d点的加速度大于在a点的加速度，所以重球A、1Hz; B、1.25Hz; C、2Hz; D、2.5Hz。 下落至d处获得最大加速度，C选项正确 ★解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振【例题】如图所示，一个轻弹簧竖直固定在水平子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O地面上，将一个小球轻放在弹簧上，M点为轻弹簧点）一定是对称的，振子由b经o到a所用的时间也竖直放置时弹簧顶端位置，在小球下落的过程中，是0.2s，由于“从b再回到a的最短时间是0.4s”，说小球以相同的动量通过A、B两点，历时1s，过B明振子运动到b后是第一次回到a点，且ob不是振点后再经过1s，小球再一次通过B点，小球在2s内子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振通过的路程为6cm，N点为小球下落的最低点，则小子从b经c到b历时0.2s，同理，振子从a经d到a，球在做简谐运动的过程中：（1）周期为 ；（2）也历时0.2s，故该振子的周期T=0.8S，根据周期和振幅为 ；（3）小球由M点下落到N点的过程频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率中，动能EK、重力势能EP、弹性势能EP’的变化为1.25Hz。故本题答。 为 ；（4）小球在最低点N点的加速度大小__
【例题】如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端_ _重力加速度g（填>、＝、<）。 固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现将重球（视为质点）从高于位置的c位置沿弹簧中轴线自M A 由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d。以下关于重O 球运动过程的正确说法应是 B C a b d N ★解析：（1）小球以相同动量通过A、B两点，由空间上的对称性可知，平衡位置O在AB的中点；再由时间上的对称性可知，tAO=tBO=0.5s， tBN = tNB =0.5s，所以tON＝tOB＋tBN＝1s，因此小球做简谐运动的周期T＝4tON=4s。 （2）小球从A经B到N再返回B所经过的路程，A、重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球与小球从B经A到M再返回A所经过的路程相等。做减速运动。 因此小球在一个周期内所通过的路程是12cm，振幅B、重球下落至b处获得最大速度。 为3cm。 第八章：简谐运动、机械波 的最大速度。（2）弹簧振子由c 点对应x轴的位置运动到e点对应x轴的位置，和由e点对应x轴的位置运动到g点对应x轴的位置所用时间均为0.4s。弹簧振子振动的周期是多少？（3）弹簧振子由e点对它在x轴上通过的路程（4）M点为小球的振幅位置，在该点小球只受应时刻振动到g点对应时刻，重力的作用，加速度为g，方向竖直向下，由空间对是6cm，求弹簧振子振动的振幅。 称性可知，在另一个振幅位置（N点）小球的加速度大小为g，方向竖直向上。 （3）小球由M点下落到N点的过程中，重力做正功，重力势能减少；弹力做负功，弹性势能增加；小球在振幅处速度为零，在平衡位置处速率最大，所以动能先增大后减小。 解答：4s；3cm；EK先增大后减小，EP减少，EP’ 增加；＝。 【例题】 弹簧振子在光滑的水平面上作简谐振 动，周期是2.4s。当振子通过平衡位置向右运动时刻★解析：（1）弹簧振子振动的加速度与位移大小开始计时。有下列说法：①经过1.6s，振子向右运动，与位移方向相反。振子具有沿x轴正方向最速度正在不断变小；②经过1.6s，振子向左运动，速成正比，必定是振动到沿x轴具有负向的最大位移度正在不断变小；③经过1.9s，振子向右运动，回复大加速度，力正在不断变小；④经过1.9s，振子向左运动，回复处，即图中f点对应的时刻。 力正在不断变大。以上说法中正确的是（ ） 振子振动到平衡位置时，具有最大速度，在h点时刻，振子速度最大，再稍过一点时间，振子的位A．只有①、③正确 B．只有②、④正确 移为正值，这就说明在h点对应的时刻，振子有沿xC．只有①、④正确 D．只有②、③正确 轴正方向的最大速度。 ★解析：据振的规律可判断D是正确的。 （2）图象中c点和e点，对应振子沿x轴从+7cm答案：D 处振动到－7cm处。e、f、g点对应振子沿x轴，从 －7cm处振动到负向最大位移处再返回到－7cm处。类型题： 必须弄清简谐运动的周期性 由对称关系可以得出，振子从c点对应x轴位置振动振子振动半周期，时间为0.8s，【例题】一弹簧振子作简谐振动，周期为T，则：到g点对应x轴位置，弹簧振子振动周期为T=1.6s。 ( C ) A．若t时刻和相等，方向相同，则B．若t时刻和相等，方向相反，则C．若动的加速度一定相等 D．若簧的长度一定相等 类型题： 振动图象的应用 【例题】一弹簧振子做简谐运动，振动图象如图6—3所示。振子依次振动到图中a、b、c、d、e、f、g、h各点对应的时刻时，（1）在哪些时刻，弹簧振子具有：沿x轴正方向的最大加速度；沿x轴正方向 A．v变大，a变小 B．v变小，a变小 C．v变大，a变小 D．v变小，a变大 类型题： 单摆周期公式的应用 【例题】一个单摆，如果摆球的质量增加为原来时刻弹时刻振子运动位移的大小一定等于T的整数倍 时刻振子运动位移的大小一定等于的整数倍 时刻振子运（3）在e点、g点对应时间内，振子从x轴上－7cm处振动到负向最大位移处，又返回－7cm处行程共6cm，说明在x轴上负向最大位移处到－7cm处相距3cm，弹簧振子的振幅A=10cm。 解答：（1）f点；h点。（2）T=1.6s。（3）A=10cm。 【例题】如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度v、加速度a的大小的变化情况为：（ A ） 第八章：简谐运动、机械波 的4倍，摆球经过平衡位置时速度减为原来的1/2则单摆的( ) A．频率不变，振幅不变 B．频率不变，振幅改变 C．频率改变，振幅不变 D．频率改变，振幅改变 ★解析：（1）决定单摆周期(频率)的是摆长及当地的重力加速度，单摆的周期与质量无关，与单摆的运动速度也无关。所以不能选C，D。 北极，g增大，从海平面到高山，g减小，所以要使周期变大。应选D。 答：D 【例题】已知某摆长为1m的单摆在竖直平面内做简谐运动，则：（1）该单摆的周期为 ；（2）若将该单摆移到表面重力加速度为地球表面重力加速度1／4倍的星球表面，则其振动周期为 ；（3）若在悬点正下方摆长中点处钉一光滑小钉，则该小球摆动的周期为 。 ★解析：第一问我们可以利用单摆周期公式计算（2）决定振幅的是振动的能量，在平衡位置（即出周期；第二问是通过改变当地重力加速度来改变12最低点）时的动能E?m?，当m增为原来的4周期的。只要找出等效重力加速度，代入周期公式2即可得解。第三问的情况较为复杂，此时小球的摆倍，速度减为原来的1/2时，动能不变，最高点的的动已不再是一个完整的单摆简谐运动。但我们注意重力势能也不变。但是由于第二次摆的质量增大了，到，小球在摆动过程中，摆线在与光滑小钉接触前势能EP= mgh不变，m大了，h就一定变小了，也就后，分别做摆长不同的两个简谐运动，所以我们只是说，振幅减小了。因此正确答案应选B。 要求出这两个摆长不同的简谐运动的周期，便可确答案:B 定出摆动的周期。 误点警示： 误解一：因为单摆的周期（频率）是由摆长L和当地重力加速度g决定的，所以频率是不变的，而从动能公式上看E?解答：（1）依据T?2?L，可得T=2s。 g1m?2质量变为原来的4倍，2（2）等效重力加速度为g'?g/4，则依据 速度变为原来的1/2，结果动能不变，既然动能不变，（指平衡位置动能也就是最大动能），由机械能守恒可知，势能也不变。所以振幅也不变，应选A。 误解二：认为速度减为原来的1/2，即运动变慢了，所以频率要变，而振幅与质量、速度无关所以振幅不变，应选C。 误解三：认为频率要改变，理由同错解二。而关于振幅的改变与否，除了错解一中所示理由外，即总能量不变，而因为重力势能EP= mgh，EP不变，m变为原来的4倍，h一定变小了，即上摆到最高点的高度下降了，所以振幅要改变，应选D。 T'?2?L，可得T'?4s。 g'（3）钉钉后的等效摆长为：半周期摆长为L1＝1m，另半周期摆长为L2＝0.5m。 则该小球的摆动周期为： T''??L1L2?2s ??2?gg2说明：单摆做简谐运动的周期公式是我们学习各种简谐运动中唯一给出定量关系的周期公式。应该答案：C 特别注意改变周期的因素：摆长和重力加速度。例【例题】单摆的周期在下述情况下会变大的有：如：双线摆没有明确给出摆长，需要你去找出等效（ ） 摆长；再例如：把单摆放入有加速度的系统中，等A、摆锤质量增大 效重力加速度将发生怎样的变化。比如把单摆放入B、摆长减小 在轨道上运行的航天器中，因为摆球完全失重，等效重力加速度为0，单摆不摆动。把单摆放入混合场C、单摆从赤道移到北极 中，比如摆球带电，单摆放入匀强电场中，这时就D、单摆从海平面移到高山 需要通过分析回复力的来源从而找出等效重力加速分析：由单摆周期公式T?2?l/g可以看出：度。这类问题将在电学中遇到 周期T只与l及g有关，与摆锤质量无关，从赤道到【例题】如图，两个相同的弹性小球，分别挂在