经典复习之八 - 简谐运动，机械波 - 图文(3)

第八章：简谐运动、机械波 不能伸长的细绳上，开始时两绳互相平行，两球在同一水平线上且互相接触，第二球的摆长是第一球摆长的 4 倍。现把第一球拉开一个很小的角度后释放并开始计时，则在第一个摆球固有周期的两倍时间内，两球碰撞的次数为 ( ) l?d，周期为T1?2?2L?gd2; 若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为L?Lsin??d，周期2L?Lsin??T2?2? A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 ★解析：由单摆的周期公式，T?2?gd2 【例题】双线摆由两根长为L的细线下端栓一质量为m的小球构成，如图所示，两线夹角为2α，今使摆球在垂直纸面的平面内做小幅度摆动，求其周期。 l，可知gT1:T2?1:2，据时间相等，会发生3交次碰撞。 答案：B 等效单摆 ★解析：当双线摆在垂直纸面的平面内做小幅度等效单摆分等效摆长单摆、等效重力加速度单摆动时可以等效为以AB的中心为悬点， OO′长为摆，以及摆长、重力加速度双重等效单摆三种情况。摆长的单摆，其等效摆长为L′＝Lcosα，故此摆周期?等效单摆的周期公式为T?2?L。 g?为：T?2?Lcos? g 1、等效摆长单摆：等效摆长不再是悬点到摆球2、等效重力加速度单摆：该类单摆的等效重力球心的距离，但g′＝g。摆长L′是指摆动圆弧的圆心加速度g′≠g，但摆长仍为悬点到球心的距离。等效到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆重力加速度g′与单摆所在的空间位置、单摆系统的的悬点。 运动状态和单摆所处的物理环境有关。 【例题】例如，在图中，三条长度均为L的绳子（1）公式中的g′由单摆所在的空间位置决定，共同系住一个密度均匀的小球m，球直径为d。若摆M由g′＝G知，g′随地球表面不同位置、不同高度球在纸面内做小角度的左右摆动，摆动圆弧的圆心2R在O1处，故等效摆长为 而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s2。 【例题】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期为T0，当气球停在某一高度时，测得该气球的周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。地球半径为R。 ★解析：根据单摆的周期公式可知：T0?2?ll，T?2?（其中l为摆长，g0和gg0 第八章：简谐运动、机械波 g分别是两地的重力加速度）；根据万有引力与重力的关系公式可知：g0?G则由牛顿第二定律： MM（其,g?G22R(R?h)中G是引力常量，M是地球的质量）由以上各式解得：h?(T?1)R T0Fcosθ＝mg① Fsinθ＝ma② 图3（b） （2）g′由单摆系统的运动状态决定，“等效重力加速度”等于摆球处于平衡位置不振动时，等效摆长“绳子”上拉力对摆球产生的加速度。具体求法：等效重力加速度g′等于摆球相对系统静止在平衡位置时摆线的张力（视重）T与摆球质量m的比值，即g′22解得F＝mg?a T＝。 m【例题】如图2所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上运加速运动，求单摆的摆动周期。 悬线拉力产生的加速度，即等效重力加速度 22g′＝g?a，所以：T?2?Lg?a22 （3）g′还由单摆所处的物理环境决定，如带点小球做成单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有一个等效重力加速度的问题。在这类问题中，除了重力，拉力，以外的力为恒力时，采用等效法，将重力和恒力的合力等效为重力。 【例题】如图4所示，摆长为L的单摆，小球质 量为m，带正电荷，电荷量为 q，处在水平向右的★解析：单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相场强为E的匀强电场中，现将小球拉离平衡位置?）由静止释放，求其周期。 对升降机静止，则单摆受重力mg和绳拉力F，根据（?＜10°牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的视重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝F/m＝g＋a ，因而单摆的周期为 图2 T?2?LL ?2?g'g?a 【例题】如图3（a）所示，长为L的轻绳一端系★解析：由平衡条件，当小球静止在平衡位置时，一质量为m的小球，挂于小车支架上的O点，当小车以加速度a向右加速运动时，将小球拉离平衡位22摆线的张力F?mg??(mg)?(qE)，等效重置?（?＜10°）由静止释放，求其周期。 22力加速度g′＝(mg)?(qE)/m。所以：T＝Lm (mg)?(qE)22 但再看这种情况，，当摆球受到除重力拉力以外★解析：当小球相对小车静止时，摆球的平衡位的其它力总是与速度垂直时，等效重力加速度仍不置偏离竖直θ角，如图3（b）中A点为摆球的平衡变。所以T不变。 位置，摆球相对车静止在平衡位置时，绳子拉力为F， 第八章：简谐运动、机械波 【例题】如图所示，摆球的质量为m，半径为r，带正电荷，用长为L的细线把摆球吊在悬点O处做成单摆，在悬点O处固定着另一个正点电荷，则这个单摆的周期为（） 即：T丙?2?lEqg＋m 对丁有：F丁=mgsinα=mg’ ， 即：T丁?2?l由此可知D正确 gsin?3、摆长、加速度双等效单摆： A．T?2?【例题】如图是记录地震装置的水平摆示意图，摆球m固定在边长L、质量可忽略的等边三角形顶点A处，它的对边BC与竖直线成不大的角θ，摆球可沿固定轴BC摆动，则摆球做微小振动的周期是多少？ LL?r B．T?2? ggC．大于T?2?L?r gL?r gD．小于T?2? ★解析：单摆的周期与重力加速度有关，其根本★解析：当m做微小摆动时，实际上围绕BC中原因是重力的分力提供回复力。题中单摆在振动过3程中要受到天花板上带正电小球的斥力，但是两球点O运动，所以等效摆长应是L′＝Lsin60°＝L。 2之间的斥力方向与运动方向总是垂直的，不影响回复力，故单摆的周期不变 当摆球处于平衡位置且不摆动时，沿OA方向的【例题】如图所示，单摆甲放在空气中，周期为等效拉力F＝mgsinθ＝mg′，即 g′＝gsinθ。故摆球的T甲，单摆乙带正电，放在匀强磁场中，周期为T乙， 3L单摆丙带正电，放在匀强电场中，周期为T丙， 单振动周期T?2? 2gsin?摆丁放在静止在水平面上的光滑斜面上，周期为T丁，那么（ ） 【例题】由长度依次为L和2L的AC和BC两根A．T甲> T乙> T丙> T丁; 细绳悬挂着小球G，如图所示，每根细绳跟竖直方B．T乙> T甲=T丙> T丁; 向的夹角均为30°。当该小球向纸外做微小摆动时，其摆动周期为多少？ C．T丙> T甲> T丁> T乙; D．T丁>T甲= T乙> T丙; ★解析：根据等效重力加速度的求法：平衡位置处，且相对静止时受力情况可知：对乙有F乙=mg=mg’(注意相对静止时，电荷不受洛仑兹力)，即T乙?2?l对丙有：F丙=mg＋Eq=mg’， g★解析：2? 23L（连接AB，则AC与AB3g垂直，则AC为等效摆长，再找等效重力加速度就可 第八章：简谐运动、机械波 以了。） 二、单摆模型在其它问题中的应用 【例题】如图所示，A、B为固定在轻杆中点和一个端点的两个小球，杆可绕O点无摩擦地转动，将轻杆从图中水平位置由静止释放，在轻杆下落到竖直位置的过程中（ ） 【例题】如图所示。曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz。现匀速转动摇把，转速为240r/min。（1）当振子稳定振动时，它的振动周期是多大？（2）转速多大时，弹簧振子的振幅最大？ A、两球各自的机械能均守恒 B、杆、球组成的系统机械能守恒 C、A球机械能的增加等于B球机械能的减少 D、A球机械能的减少等于B球机械能的增加 类型题： 波动图象的分析 【例题】一简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻★解析：构建单摆物理模型，令OA和OB各构其波形如图所示。下列说法正确的是 成一个单摆如图6（b）所示， 图6（b） A 由波形图可知该波的波长 B 由波形图可知该波的周期 C 经1/4周期后质元P运动到Q点 D 经1/4周期后质元R的速度变为零 则A球的周期比B球的周期小，A球先摆到竖直位置，由此可推知，在本题中A球通过杆对B球做正功，A球的机械能减少，B球的机械能增加，杆、球系统的机械能守恒。故选项B、D正确 ★解析： 由波的图象的物理意义，可直接得出波长为4cm ，A项正确；波传递的是能量和振动形 式，并不发生质点的迁移，质点只能在各自的平衡类型题： 根据共振的条件分析求解相关问题 位置振动，C错误，D正确；波长、波速和周期（频【例题】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬率）三个量中要知道两个才能求出第三个，B项错误。 挂有 a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡答案：AD 位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接 着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有：（ AB ） 类型题： 波长、波速和周期（频率）的关系 【例题】一简谐横波在某一时刻的波形图如图所示，图中位于a、b两处的质元经过四分之一周期后分别运动到a?、b?处。某人据此做出如下判断：①可知波的周期，②可知波的传播速度，③可知的波的传播方向，④可知波的波长。其中正确的是（ ） A．各摆的振动周期与a摆相同 B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大 C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长 D．各摆均做自由振动 第八章：简谐运动、机械波 A．①和④ C．③和④ B．②和④ D．②和③ ★解析：由题意b质点向下振动，可判断波向右传播，从图象上可得波的波长为4m，选答案C。 答案：C 【例题】一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t=0时刻的波形如图中实线所示，t=0.2s时刻的波形如图中的虚线所示，则 A．该波沿x轴正方向传播 B．c正向上运动 C．该时刻以后，b比c先到达平衡位置 D．该时刻以后，b比c先到达离平衡位置最远处 ★解析：A质点向上振动，由上下坡法判断该波的传播方向沿x轴正方向，A正确；在相邻的半个波长内离波源近的质点先达最大位置（或平衡位置），C正确 答案：AC 【例题】如图6－11所示，一列在x轴上传播的横波t0时刻的图线用实线表示，经Δt＝0.2s时，其图线用虚线表示。已知此波的波长为2m，则以下说法正确的是：（ ） Ａ．质点P的运动方向向右 Ｂ．波的周期可能为0.27s Ｃ．波的频率可能为1.25Hz Ｄ．波的传播速度可能为20m/s ★解析：如果波向右传播，有（n+1/4）T=0.2s， 如果波向左传播，有有（n+3/4）T=0.2s，从波的图象可得??24m，结合??C正确。 答案：C 【例题】A、B两列波在某时刻的波形如图所示，经过t＝TA时间(TA为波A的周期)，两波再次出现如图波形，则两波的波速之比VA：VB可能是 ?T，可判断BD错误， A．若波向右传播，则最大周期为2s B．若波向左传播，则最大周期为2s C．若波向左传播，则最小波速是9m/s D．若波速是19m/s，则波的传播方向向左 ★解析：首先题目中没有给出波的传播方向，因而应分为两种情况讨论。例如波向右传播，图中实线所示横波经过0.2s传播的距离可以为0.2m， (0。2+λ)m， (0.2+2λ)m……，其波形图均为图中虚线所示。因而不论求周期最小值还是求周期的最大值，都可以先写出通式再讨论求解。 (A)1：3 (B)1：2 (C)2：1 (D)3：1 解答：如果波向右传播，传播的距离为（0.2+nλ）现原波形时，A经历一个周期TA，B经历n（n=1，m（n＝1，2，3……），则传播速度为2，3，…。）个周期，有nTB=TA由??★解析：由图可知?A:?B?2:1，两波再次出?T，可得：v?s0.2?2n?m/s，取n=0时对应最小的波速?t0.2?A?ATB2??，则有答案ABC正确。 ?B?BTAn答案：ABC 【例题】一列简谐横波在x轴上传播，某时刻的波形图如图所示，a、b、c为三个质元，a正向上运动。由此可（ ） 为1m/s，根据周期T?此选项A是正确的； ?v，得最大的周期为2s。因如果波向左传播，传播的距离为（nλ－0.2） m（n=1，2，3……），则传播速度为v?s2n－0.2?m/s ，取n=1时对应最小的波速?t0.2