给定正则曲面??=?? ??,?? =??(?? ??,?? ,?? ??,?? ,??(??,??))
如果????×????≠0,就称为正常点。那么该曲面的切平面由??,????,????来确定，法向量由??,????×????来确定。
线性微分方程?? ??,?? ????+?? ??,?? ????=0表示曲面上的一曲线族；二阶微分方程?? ??,?? ????2+2?? ??,?? ????????+?? ??,?? ????2=0表示曲面上的曲线网。
曲面第一基本形式
曲面??:??=?? ??,?? 上的曲线??:??=?? ??(??),??(??) 的弧长的微分形式是： ??=????2=??????2+2??????????+??????2称为曲面??的第一基本形式。 其系数??=?????????,??=?????????,??=?????????称为曲面??的第一基本量。
曲面上两方向的夹角
给出曲面上的两个方向(????:????)和(????:????),其夹角??满足： ????????=
??????????+?? ????????+???????? +??????????
??????2+2??????????+??????2 ??????2+2??????????+??????2 两个方向(????:????)和(????:????)垂直的条件是： ??????????+?? ????????+???????? +??????????=0 ????,????的夹角??为： ????????=
???????????= ???? ???? ????正交曲线族和正交轨线
曲面域的面积
2??2? ???? 2???????? ????= ????????×???????? = ????×???? ????????= ????×???? 2????????= ??????????
= (???????2)???????? 曲面第二基本形式
Ⅱ=??·??2??=??????2+2??????????+??????2 其中：
??=
????×????????×????= ????×???? ???????2??=?????·????=??????·??=
??????,????,???? ???????2 ??=?????·????=?????·????=??????·??=
??=?????·????=??????·??=
??????,????,???? ???????2 ??????,????,???? ???????2 曲面上曲线的曲率
曲面??:??=?? ??,?? 上的曲线??:??=?? ??(??),??(??) =??(??)；其中，??是自然参数。??表示曲线??的主法向量??和曲面??的法向量的夹角，那么
??????2+2??????????+??????2
??????????== 2+2??????????+??????2??????ⅠⅡ给出曲面??上的一点??和??点处一方向(??)=????:????，那么，曲面上??点的法方向与(??)所确定的平面，称为当地的法截面。法截面与曲面的交线称为当地的法截线。其曲率称为法曲率kn。
Dupin指标线
在过??点的切平面上建立坐标系，????和????为基向量。过??点沿方向(d)画线段：
1 ，则对于切平面上的所有方向，??的轨迹称为当地的Dupin指标线。在该????
坐标系下，其方程是：
????=
????2+2??????+????2=±1 椭圆点，双曲点，抛物点，平点
双曲点的渐近线的方向称为当地的渐近方向，方程为：
??0????2+2??0????????+??0????2=0 曲面上的曲线，若每一点的切方向都是渐近方向，称为渐近曲线。其微分方程为：
??????2+2??????????+??????2=0 如果曲面上的点都是双曲点，那么就存在两族渐近曲线，称为渐近网。 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是：
??=??=0 设曲面上P点处的两个方向 ?? =????:????和 ?? =????:????所在的直线是P点的Dupin指标线的共轭直径，那么这两个方向称为当地的共轭方向。
方向 ?? 和 ?? 共轭的充要条件是：
??0????????+??0 ????????+???????? +??0????????=0 也可表示为：?????????=0或?????????=0
曲面上的两族曲线，过曲面上每一点的两条曲线的切方向都是共轭方向，就称为共轭网。
曲线族Adu+Bdv=0的共轭曲线族的方程是：
??????+??????
??
即:
????????? ????+ ????????? ????=0 曲面的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是：??=0
曲面的主方向和曲率线
曲面上点P的两个方向是当地的主方向，如果它俩既正交又共轭。 设????:????是主方向，那么，它必然满足下面的二次方程：
????2 ????
其判别式为：
?= ????????? 2?4 ????????? ????????? 2??4 ???????2 ????????? + ????????? 2 = ????????? ?2????所以，?≥0.
当?=0时，这样的点称为脐点。有：
??????
== ????????=??=??=0的脐点称为平点，其余的称为圆点。脐点的每一个方向都是主方向。 当?>0时，恰有两个主方向，它们是当地的迪潘指标线的主轴方向。 主方向判定定理：
?? =(????:????)是主方向 ? ????=??????????，????是曲面沿方向(??)的法曲率。
2
??????+??????
=0 ??
?????????????
????2
?? =0 ??
曲面上某曲线上每一点的切方向都是主方向，称为曲率线，方程是：
????2 ????
这个方程确定了曲率线网。
定理：曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 ??=??=0
主曲率、Gauss曲率、平均曲率
曲面上一点处的主方向上的法曲率称为当地的主曲率。主曲率是当地所有的法曲率的最大值和最小值。
在曲面??:??=??(??,??)上，把曲率线网视为曲纹坐标网，则??=??=0，此时对于曲面的任意方向(??)=????:????，法曲率公式可以简化为：
??????2+??????2
????== 2+??????2??????Ⅰ
Ⅱ
?????????
????
????2
?? =0 ??
??
沿??—曲线 ????=0 的方向上的主曲率是 ??1=
??沿??—曲线 ????=0 的方向上的主曲率是 ??2=
设??为方向????:????和??—曲线 ????=0 的夹角，那么 ????????=
??????????+?? ????????+???????? +??????????
??????2+2??????????+??????2? ??????2+2??????????+??????2=
??????????
??????2+??????2? ??????2?? ?? 那么，
??????2
????????= ??????2+??????22
??????2
????????=1?????????= ??????2+??????22
2
于是，
??????2+??????2????????2????????2
????===+= ??1??????2??+??2??????2?? 222222????????+??????????????+??????Ⅰ??????+??????Ⅱ
这个公式称为 ?????????? 公式 。
在其它曲纹坐标网下面，主曲率的计算公式是：
?????????
?????????
?????????
=0，即 ?????????
2 ???????2 ????? ?????2????+???? ????+ ???????2 =0
??????????曲率
???????2
??=??1??2= ???????2平均曲率
??=
??1+??2?????2????+????
= 22 ???????2 高斯曲率的几何意义
曲面的球面表示：
当地的单位法向量平移到单位球面的球心，?????′，这种对应又称为高斯映射。如右图： 曲面的球面表示的第一基本形式叫做原曲面的的第三基本形式。
Ⅲ=????2=??????2+2??????????+??????2= ????????+???????? 2，所以第三类基本量是：
??=????·????，??=????????，??=???????? 第三基本形式可以由第一、第二基本形式来表示：Ⅲ?2??Ⅱ+??Ⅰ=0 设曲面上P点的邻域 σ 在单位球面对应于 σ′ ，那么，当地的高斯曲率KP满足：
???? =??????
??′的面积 ??的面积
??→??
一套新的符号
??=??1，??=??2，????=??1，????=??2， ??????=??11，??????=??12，??????=??21，??????=??22， ??=??11=??1???1，??=??12=??21=??1???2，??=??22=??2???2，