??11
???????2= ??
21??12
??22 =??， ??=??11=??11???，??=??12=??21=??12???，??=??22=??22???， 2
2
2
= ， = ， ??=1
??
??,??
??=1??=1
曲面的基本方程
??
??????= ??????????+ ?????????， ?? ??，??，??=1，2 ??= ??????，
???? ??
??
第一类Christoffel符号：
????????????????????????
??+?????????????????=???????????= ???? ????，?? =?????????????? . 2??
第二类Christoffel符号：
??????
????????????????????????
+?
?????????????????? 2????
????????= ?? ????，?? =
??
??
于是：
??111=
????????? 2????????? ?? 2????????? ???????
2，??=， 11
2 ???????2 2 ???????2 ??112=
??????????????????????????
2，??=， 12
2 ???????2 2 ???????2 ??122=
?? 2????????? ???????????????? 2????????? 2
，??=. 22
2 ???????2 2 ???????2 其它系数：
????=? ???????????? ??
1??1=
??
?????+?????????????2
，??=， 1
???????2???????2??????????????+????2
，??=. 2
???????2???????2??12=
所以，曲面的基本方程是：
??
??????= ??????????+ ?????????， ?? ??，??，??=1，2 ??= ??????????，
?????? ??
??,??
第一式称为高斯方程，第二式称为Weingarten方程。
曲面的Riemann曲率张量
??
????????
????????????????????????????=?+ ????????????????????????? ，??,??,??.??.??=1,2 ??????????????
另一种是：
??
??????????= ?????????????? ,??,??,??,??=1,2 ??
有恒等式：
????????????
????????=????????? ,????????=0 ,????????+????????+????????=0 ,
??????????=??????????? ,??????????=0 ??????????=??????????? ,??????????=0 ??????????=?????????? ,??????????+??????????+??????????=0 16个黎曼曲率张量里，只有一个是独立的，即R1212 . 黎曼曲率张量只与第一基本形式有关，它经过等距变换后保持不变。 对曲面的基本方程求微商，有： 高斯公式：??????????=????????????????????????? 科达奇—迈因纳尔迪公式：
????????????????
??
?= ??????????????????????????? ??????????????
??1212=??12??12???11??22=? ???????2 =??? ???????2 ，所以有
??=?
下面给出高斯曲率的内蕴表达式：
??1212
????????? ??=
?????????????22?????????2????2????2????
?????????
????2 ???????2 20????? 2????2????2????
????2????
曲面论基本定理
给定两个二次形式：
2
Ⅰ=??????2+2??????????+??????2= ??????????????????
??,??=12
Ⅱ=??????2+2??????????+??????2= ??????????????????
??,??=1
其中Ⅰ是正定的。若??????和??????对称，且满足高斯—科达奇—迈因纳尔迪公式，则存在唯一的曲面，使得Ⅰ和Ⅱ分别为此曲面的第一和第二基本形式。
测地曲率
定义：曲面??:??=?? ??1,??2 上的一条曲线??:????=???? ?? ,??=1,2.其中??是C的自然参数。 ??是??上一点，??、??、??分别是??在当地的单位切向量、主法向量、副法向量，??是??在当地的单位法向量，??是??和??的夹角，那么??在当地的??方向上的法曲率是
????=??????????=???????=????? 令??=??×??，则??,??,??是互相正交的单位向量，构成右手系。那么，曲线C在P点的曲率向量??=????在??上的投影????=?????=???????=?? ??,??,?? =?? ??×?? ???=???????称为当地的测地曲率。
曲面??上曲线??在??点的测地曲率的绝对值等于曲线??在P点关于曲面S的切平面上的正投影曲线???的曲率。 下面给出测地曲率的公式：
????????
????1??2??2????2??2??12????????1????????????= ?? + ?????? ? + ?????? ????????2????????????????2??????????,??
??,??
=
?????????????????????+???????? ????2?? ??2?? ??=
????1????????1?????????????????+???????? ????2 ??????????2 ??=
????
???????????????+?????????????? ????其中，??????和??????分别表示当地的??—曲线和??—曲线的测地曲率。
测地线
曲面上的曲线，若测地曲率处处为零，则称为测地线。
曲面上非直线的曲线是测地线，充要条件是，除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法线。
两曲面切于一曲线，此曲线是其中一个曲面的测地线，那么，它也是另一个曲面的测地线。
曲面上的测地线方程：
????
??2??????????????+ ??????=0,??=1,2. ????2????????
??,??
给出初始条件：（也就是给出曲面上一点和一个切方向）
??=??0 时 ??=
??
??
??0,
????????????
= ， ????????0
根据常微分方程理论，存在唯一一条曲线??：????=???? ?? 过已知点?? ??1 ??0 ,??2 ??0 ，并且切于给定的方向
????1????
,
0
????2????
0
半测地坐标网
一族是测地线，另一族是它的正交轨线。
曲面上的任意曲线，必定位于某个半测地坐标网内。 当在曲面上取半测地坐标网时，曲面的第一基本形式怎样！
取曲面上一条测地线??为??—曲线：??=??0，再取与??正交的测地线族为??—曲线，另取这测地线族的正交轨线为??—曲线，就得到一个半测地坐标网。曲面的第一基本形式可以化简为
????2=????2+??????2 其中??(??,??)满足条件
?? ??0,?? =1，???? ??0,?? =0 参数u和v的几何意义是：在测地线族上，介于v—曲线u=c1和u=c2之间的弧长为 c2?c1 ；在测地线C上介于u—曲线v=d1和v=d2之间的弧长为 d2?d1
曲面上测地线的短程性
1+
u1u2
Gv2du
≥ du=u2?u1
u1
u2
需要说明的是，要限定在充分小的曲面片上。
??????????—????????????公式
在曲面S上给出一个由k条光滑曲线段所围成的曲线多边形，它围成了一个单连通曲面域G。多边形是G的边缘，记为?G。曲面S的高斯曲率和测地曲率分别为K和kg，曲面的面积元素和弧长元素分别为dσ和ds,则有：
k
Kdσ+ kgds+ π?αi =2π，
G
?G
i=1
其中αi是?G的第i个内角的角度，π?αi是外角的角度。 如果?G是一条光滑曲线，则有
Kdσ+ kgds=2π
G
?G
如果?G由测地线组成，则有
k
Kdσ+ π?αi =2π
G
i=1
曲面上向量的平行移动
曲面上向量的平行移动
Levi—Civita平行移动：??变成??+????
向量沿一条曲线C平行移动的充要条件是：沿C所作的切平面的包络面所得可展曲面展开在平面上时，所得到的向量在平面上为平行移动。
诸切向量沿着曲面曲线C平行移动时，这些向量的长度及夹角保持不变。