曲线C为测地线的充要条件是：它的切向量在Levi—Civita平行移动的意义下沿着C是互相平行。
极小曲面
极小曲面的平均曲率为0.
常高斯曲率的曲面
对于半测地坐标网，曲面的高斯曲率是
1??2 ????=? 2???? ??因为K是常数，则得微分方程
??2 ??+?? ??=0 ????2根据初始条件：
?? ??0,?? =1，???? ??0,?? =0 正常数高斯曲率曲面的第一基本形式与球面相同。0高斯曲率曲面的第一基本形式与平面相同。负常数高斯曲率曲面的第一基本形式与伪球面相同。
伪球面
??
??????????????????,??????????????????,±?? ??????????+???????? 2
1??2 ??1
??=?=? 22?????? ??