(?x)D??x???xdx； ?x
(?y)D??y???xdx ?x(?x)C??x?各点切应力：
??x??dx?x?y； ?x?y(?y)C??y???y?xdx???y?y?y
(?xy)A??xy； (?xy)B??xy?
(?yx)A??yx (?yx)A??yx???yx?y??yx?x??xy?ydy；
dy
(?xy)D??xy???xy?xdx；
(?yx)D??yx?dx
(?xy)C??xy???xy?xdx???xy?ydy；
(?yx)C??yx???yx?xdx???yx?ydy
由微分单元体的平衡条件 ?Fx?0, ?Fy?0,得
??1???????x?????x????x??x????1??dy???dy?????x?dx????x?dx?dy???dy?????x???x?2?y2?x?x?y???????????????????????yx????yyx????yx??yx?????1???1??dx???dx?????yx?dy????yx?dx?dy???dx?fxdxdy?0???yx???yx+2?x2?y?x?y??????????????????
??1??????y?????y????y??y?????1??dx???dx?????y?dy????y?dx?dy???dx?????y???y?2?x2?y?x?y???????????????????????xy?????xy????xy??xy?????1??1???dy???dy?????xy+dx????xy+dy?dx???dy?fydxdy?0???xy???xy+?y?x???y?x????????????2??2??
以上二式分别展开并约简，再分别除以dxdy，就得到平面问题中的平衡微分方程：
??????x??yx??fx?0;y?xy?fy?0 ?x?y?y?x【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。 【2-5】在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？
【解答】(1)在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：物体的连续性和小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。
(2)在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假定，即理想弹性体假定。同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件。
6
【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？
【2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。试根据相应的物理方程来解释这种现象。
【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。由物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。由于E为GPa级别的量，而泊松比?取值一般在（0，0.5），故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数1/E要大于平面应变问题的系数
?1???/E。因此，平面应力问题情况下应变要大，故钢圆环变形大。
2【2-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平面问题的应力分量?x，?y和?xy均相同。试问其余的应力，应变和位移是否相同？
【解答】(1)应力分量：两类平面问题的应力分量?x，?y和?xy均相同，但平面应力问题
?z??yz??xz?0，而平面应变问题的?xz??yz?0,?z????x??y?。
（2）应变分量：已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相同，故应变分量?xz??yz?0,?xy相同，而?x,?y,?z不相同。
（3）位移分量：由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面问题也不同。【2-8】在图2-16中，试导出无面力作用时AB边界上的?x,?y,?xy之间的关系式
【解答】由题可得：
?gO?y?xy?xxA?nl?cos?,m?cos???90??sin?fx?AB??0,fy?AB??0将以上条件代入公式（2-15），得：
y图2-16B??x?ABcos????yx?ABsin??0, ??y?ABsin??(?xy)ABcos??0?(?x)AB????yx?tan????y?ABABtan2?
7
【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
o?gbh1h2xMqFNFSh/2h/2xq1yy
l
?h2??b?图2-17
图2-18
【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。
【解答】图2-17：
上（y=0）
0 -1
0
左(x=0) -1 0
右（x=b）
1 0
l m
fx?s??g?y?h1?0
??g?y?h1?0
fy?s?
代入公式（2-15）得
?gh1
①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：
??x?x?0???g(y?h1),??xy?x?0?0;??x?x?b???g(y?h1),??xy?x?b?0;②在小边界y?0上，能精确满足下列应力边界条件：
???yy?0???gh,??xy?y?0?0
③在小边界y?h2上，能精确满足下列位移边界条件：
?u?y?h时，可求得固定端约束反力分别为：
2?0,?v?y?h?02
这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚?=1Fs?0,FN???ghb1,M?0
由于y?h2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：
8
?b???dx???gh1b??0yy?h2??b ??0??y?y?h2xdx?0?b????dx?0???0xyy?h2⑵图2-18
①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）
l
0 0
m
-1 1
fx(s)
0 -q1
fy(s)
q
0
y??h 2hy?
2(?y)y?-h/2??q，(?yx)y?-h/2?0，(?y)y?h/2?0，(?yx)y?h/2??q1
②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有
?h/2(?)dx??FS???h/2xyx?0?h/2???h/2(?x)x?0dx??FN ?h/2?(?)ydx??M???h/2xx?0③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件ux?l?0,vx?l?0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。
首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：
?F?Fyx??q1l?FN??q1l?FN ?0,FN?FN?FNM??0,FS?FS??ql?0?FS???ql?FS
FS?q1lh121ql2?MA?0,M?M'?FSl?2ql?2q1lh?0?M?2?M?FSl?2
由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故
?h/2(?)dy?F??ql?FN1N???h/2xx?l?q1lhql2?h/2?M?FSl? ???h/2(?x)x?lydy?M??22??h/2(?)dy?F???ql?Fxyx?lSS????h/2
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【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？
【解答】由于hbqoxAhhoFNMxqb2b/2b/2FN?Aqb2M?12l，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，
写出三个积分的应力边界条件：
(a)上端面OA面上面力fx?0,fy?xq by?a??h??b,??1?图2-19y?b?由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有
bbxqb?b?dx??fdx??qdx???0y?0b??0?y?y?02?bbx?bqb2?b???0??y?y?0xdx???0fyxdx??0q??x?dx?b?212???b??0??yx?y?0dx?0?(对OA中点取矩)
(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则
qb?b?dx??F??N??0?y?y?02?qb2?b ??0??y?y?0xdx??M?12??b?dx?0??0?xy?y?0?综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。
【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（2-18）； （2）在s?上用位移表示的应力边界条件式（2-19）； （3）在su上的位移边界条件式（2-14）； 对于平面应变问题，需将E、μ作相应的变换。
【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。 【2-12】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域A内的平衡微分方程式（2-2）；
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