（2）在区域A内用应力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）；
（3）在边界上的应力边界条件式（2-15），其中假设只求解全部为应力边界条件的问题； （4）对于多连体，还需满足位移单值条件。
【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。 【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】用应变表示的相容方程式（2-20）
【2-13】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域A内用应力函数表示的相容方程式（2-25）； （2）在边界S上的应力边界条件式（2-15），假设全部为应力边界条件； （3）若为多连体，还需满足位移单值条件。 【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。 【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：
qqaaOqbxqh/2xlObqh/2yy
图2-20 图2-21
l?h y2（a）图2-20，sx=2q，?y??xy?0。
b【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。
（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fx?fy?0
??x??yx??y??xy??0 ??0 显然满足 ?x?y?y?x（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有
??2?2?2q等式左=?2?2???x??y?=2?0=右
?y?b??x应力分量不满足相容方程。
因此，该组应力分量不是图示问题的解答。
MFsS*y，?xy?(取梁的厚度b=1)，得出所示问题的（b）图2-21，由材料力学公式，?x?IbI
11
x3y3qx222解答:?x??2q3，?xy?-(h?4y)。又根据平衡微分方程和边界条件得出：3lh4lh3qxyxy3qx。试导出上述公式，并检验解答的正确性。 ?y??2q3?2lhlh2l【解答】（1）推导公式
在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性轴（Z轴）
h3的惯性矩I?，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程
12q3qx2M(x)??x,F?x???。
6l2l所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：
M?x?x3y?x?y??2q3
Ilh3Fs?x??4y2?3qx222?xy?1???.h?4y??。 ??2bh?h2?4lh3根据平衡微分方程第二式（体力不计）。
??y?y???xy?x?0
3qxyxy3.?2q3?A 得： ?y?2lhlh根据边界条件
???yy?h/2?0
qxA??.
2l得
3qxyxy3qx.?2q3?. 故 ?y?2lhlh2l将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：
x2yx2y左??6q.3?6q3?0?右 满足
lhlh第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）
12
??2?2?xyxy左??2?2???x??y???12q.3?12q.3?0?右
lhlh??x?y?应力分量不满足相容方程。
故，该分量组分量不是图示问题的解答。
【2-15】试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。 【解答】（1）确定最大最小切应力发生位置 任意斜面上的切应力为?n2?lm??2??1?，用关系式l2?m2?1消去m，得
2422?n??l1?l??2??1???l?l??2??1???1/4??1/2?l由上式可见当
???2??1?
121???2?l?0时，即l??时，?n为最大或最小，为 ??n?max??1。因此，
min222切应力的最大，最小值发生在与x轴及y轴（即应力主向）成45°的斜面上。
（2）求最大，最小切应力作用面上，正应力?n的值 任一斜面上的正应力为
?n?l2??1??2???2
最大、最小切应力作用面上l??1/2，带入上式，得
?n?证毕。
11???????12?2??1??2? 22【2-16】设已求得一点处的应力分量，试求?1,?2,?1
(a)?x?100,?y?50,?xy?1050; (b)?x?200,?y?0,?xy??400;(c)?x??2000,?y?1000,?xy??400; (d)?x??1000,?y??1500,?xy?500.【解答】由公式（2-6）
2?1??x?1??x?1??x??y??x??y?2tan?1??1?arctan，得 ???????xy及??xyxy?2?22??2?1?100?50?100?50???????1050(a)
?2?22????2?150?? 0??1?arctan150?100?35?16'
1050 13
2?1?200?0?5122?200?0?????400????(b) ????2??3122?2???1?arctan512?200?arctan??0.78???37?57'
?4002?1??2000?1000?10522??2000?1000?????400????(c) ????2?22????2052?1?arctan1052?2000?arctan??7.38???82?32'
?4002?1??1000?1500??691??1000?1500?2????(d) ??500???1809
?2?22????1?arctan?691?1000?arctan0.618?31?43'
500【2-17】设有任意形状的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q。试证sx=sy=-q及?xy?0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。
【解答】（1）将应力分量?x??y??q,?xy?0，和体力分量
Oxq?xAfyfxqy?yfx?fy?0分别带入平衡微分方程、相容方程
???x??xy??fx?0??y??x （a） ????y???xy?f?0y??x??y?2??x??y??0 （b）
显然满足（a）（b）
（2）对于微小的三角板A，dx，dy都为正值，斜边上的方向余弦l?cos?n,x?,m?cos?n,y?，将
?x??y?-q,?xy?0，代入平面问题的应力边界条件的表达式（2-15），且
fx?-qcos?n,x?,fy?qcos?n,y?，则有
?xcos?n,x???qcos?n,x?,?ycos?n,y???qcos?n,y?所以?x??q,?y??q。
对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。
14
该题为平面应力情况，首先，将应力分量代入物理方程（2-12），得形变分量，
?x?(???1)(??1)q,?y?q,?xy?0 （d） EE将（d）式中形变分量代入几何方程（2-8），得
?u(?-1)?v(?-1)?v?u=q,=q,??0 （e） ?xE?yE?x?y前两式积分得到
（?-1）（?-1）u=qx?f1(y),v=qy?f2(x) （f）
EE其中f1?y?,f2?x?分别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入式（e）的第三式，得
?df1(y)df2(x)?dydx
等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数?，于是有
df1(y)df(x)???,2?? dydx积分后得f1?y????y?u0,f2?x???x?v0 代入式（f）得位移分量
(??1)?u?qx??y?u0??E （g） ?(??1)?v?qy??x?v0??E其中u0,v0,?为表示刚体位移量的常数，需由约束条件求得
从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件。因而，应力分量是正确的解答。
【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F（图2-22），体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力?y?0，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。
【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程M(x)??Fx，横截面对中性轴的惯性矩为
h/2xlOh/2Iz?h3/12，根据材料力学公式
15
1Fy