弯应力?x?M(x)12Fy??3xy； Izh该截面上的剪力为Fs?x???F，剪应力为
Fs(x)S*?F6F?h2?h??h/2?y?2??xy????y?b??y???y? ???3?3?bIzh?41??h/12??2??2??取挤压应力?y?0
（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：左??12F12Fy?y?0?右 23hh第二式：左=0+0=0=右
该应力分量满足平衡微分方程。
（3）将应力分量代入应力表示的相容方程
左??2(?x??y)?0?右 满足相容方程
（4）考察边界条件
①在主要边界y??h/2上，应精确满足应力边界条件(2-15)
l
0 0
m
-1 1
fx
0 0
fy0 0
hy??上2 hy?上2
代入公式（2-15），得
???yy?-h/2?0,??xy?y??h/2?0;??y?y?h/2?0,??yx?y?h/2?0
②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩
?h/2?(?x)x?0dy?0?x向面力主矢???h/2?h/2???h/2(?x)x?0ydy?0?面力主矩?2h/2?6Fh??h/22(?)dy??(?y)dy???F?y向面力主矢3????h/2xyx?0?h/2?h4???满足应力边界条件
FNM③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，FN?0,FS??F,M??Fl
其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：
FS 16
12Flydy?0?FN??h/2?h/2h3
h/2h/122F(?x)x?lydy???ly2dy??Fl?M3??h/2?h/2h
h/2(?x)x?ldy???h/2
?h/2?h/2(?xy)x?ldy???h/2?h6F?h22??y?dy??F?FS3?/2h?4?
满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
【2-19】试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为
fx???V?V,fy??，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示成为?x?y?2??2??2?，试导出相应的相容方程。 ?x=2?V,?y=2?V,?xy???y?x?x?y【解答】（1）将fx,fy带入平衡微分方程（2-2）
???x??yx???x??yx?V??f?0???0x???y?y?x??x??x ? （a） ?????y???xy?f?0???y???xy??V?0y???x?x?y??y??y将（a）式变换为
??yx???0?(?x?V)??x?y? （b） ???(??V)???xy?0y??y?y?为了满足式（b），可以取
?2??2??2??x?V?2,?y?V?2,?xy??
?y?x?x?y?2??2??2??V,?y?2?V,?xy??即?x? ?y2?x?x?y（2）对体力、应力分量fx,fy,?x,?y求偏导数，得
??fx?fy?2V?2V??2, ??2??x?x?y?y?2??2?x?4??2V?4??2V???x?2?22?2, 2?4?2 （c）
?x?y?x?y?y?y??x??2??2?y?4??2V?4??2Vy?2?4?2, ?22?22?x?x?y?x?y?y???x
17
将（c）式代入公式（2-21）得平面应力情况下应力函数表示的相容方程
??fx?fy????x??y???(1??)??? （2-21）
?x?y??2??2V?2V??4??2V?4??2V?4??2V?4??2V?2?4?2?4?2?22?2?(1??)?2?2?22?x?y?x?y?y?x?x?x?y?y?y???x
整理得：
??2V?2V?4??4??4??222?4??(1??)?2?2?x4?x?y?y?y??x即平面应力问题中的相容方程为
?? （d） ??4???(1??)?2V
将（c）式代入公式（2-22）或将（d）式中的替换为
?，的平面应变情况下的相容方程： 1???? （e） ??4??4??4?1?2???2V?2V?222?4?????x4?x?y?y1????x2?y2即 ????证毕。
41?2?2?V。 1?? 18
第三章 平面问题的直角坐标解答
【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？
【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。
【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。
【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。
【3-3】如果某一应力边界问题中有m个主要边界和n个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？
【解答】在m个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m个；在n个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n个。
【3-4】试考察应力函数??ay3在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?
【解答】⑴相容条件:
不论系数a取何值，应力函数??ay总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).
⑵求应力分量
当体力不计时，将应力函数?代入公式(2-24)，得
3Ohxly图3-8?x?6ay,?y?0,?xy??yx?0
19
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；
当a>0时，考察?x分布情况，注意到?xy?0，故y向无面力 左端:fx?(?x)x?0?6ay ?0?y?h? fy????xyx?0?0
右端:fx???x?x?l?6ay (0?y?h) fy?(?xy?xl )?0应力分布如图所示，当l?h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩
OA xfxyfx
主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e：
因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：
ePeP(?x)A?ppe?2?0?e?h/6 bhbh/6同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。 【3-5】取满足相容方程的应力函数为：⑴
??ax2y,⑵??bxy2,⑶??cxy3,试求出应力O分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。
【解答】（1）由应力函数??axy，得应力分量表达式
2h/2h/2xl(l?h)y图3-9?x?0,?y?2ay,?xy??yx??2ax
??(l?x?m?yx)s?fx(s)考察边界条件，由公式（2-15）?
??(m?y?l?xy)s?fy(s)h①主要边界，上边界y??上，面力为
2hhfx(y??)?2ax fy(y??)?ah
22h②主要边界，下边界y?，面力为
2
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