如果有衍射现象发生，上面三个方程必须同时满足，即分别以三个晶轴为轴心的圆锥面必须同时相交，交线的方向就是衍射线的方向，用衍射指标h,k,l标记。
指定入射X射线的方向、波长以及衍射指标后，方程(5-7-3)中有三个变量?,?,?，它们是衍射线与三个晶轴的夹角。由于晶轴彼此的夹角是固定的，所以这三个变量还要满足一个附加的函数关系F(?,?,?)=0。如，当三个晶轴相互垂直时，有cos2??cos2??cos2??0。这样，三个变量要满足4个方程，通常情况下无解，不会产生衍射，必须需增加变量。增加变量有两种方式：1) 采用波长连续变化的X射线(白色X射线)，波长成为变量；或者，2) 使单晶旋转，入射角成为变量。
② 布拉格方程
用劳厄方程描述衍射现象时，入射线、衍射线与晶轴的夹角不易确定，求晶胞参数比较困难。所以在X射线衍射分析中常常采用更为简洁的布拉格方程，两者表达不一样，但本质相同，从劳厄方程可以推出布拉格方程。 ⑴ 晶面反射
衍射线的方向就是晶面对入射线的“镜面反射”方向。如果把晶体看作是一系列晶面组成，X射线照射到晶面上，与晶面之间呈?角，则入射线、衍射线、晶面的法线在同一平面上，入射线、衍射线与晶面的夹角相等，就像是镜面反射一样。在讨论中常常用反射代替衍射这个术语。
? 注意：晶面的反射和可见光对镜面的反射不同。可见光以任意角度投射到镜面上都可以产生反射，而晶面的反射其角度必须满足一定条件，即后面即将介绍的布拉格方程。 同一晶面上各原子散射线的光程差为0。
设三个晶轴方向上的三个素向量分别为a,b,c。 设入射线和衍射线方向的单位矢量为S0和S，即
??S0?1, S?1
?????根据矢量点乘的定义
????S0?a?S0?a?cos?0?acos?0????S?a?S?a?cos??acos? ?0是这两个矢量的夹角
类似的，还有
??S0?b?bcos?0??S0?c?ccos?0??S ?b?bcos?
S?c?ccos?
??将这些关系式带入劳厄方程，劳厄方程可改写成
????a?(S?S0)?h??????b?(S?S0)?k?????c?(S?S0)?l??
上式分别除以h,k,l，再两两相减，得到
????????ba(?)?(S?S)?AB?(S?S0)?0?0kh????????b?c?(?)?(S?S0)?BC?(S?S0)?0 ?l?k??????c?a(?)?(S?S0)?CA?(S?S0)?0?hl?这表明，矢量(S?S0)分别和AB、BC、CA垂直。上面的关系式可用下图表示，图中给出了各个矢量之间的关系。
??S?S0?S0?????B12?SC?cl?bkA?ah?S0?S
??ab从图中可以看出，1) 三个矢量,hk???,?cl两两相减，分别给出AB,BC,CA，端点ABC构成了一个三角
??????形；2) 单位矢量S,S0相减，给出(S?S0)，并且?1=?2；3. (S?S0)垂直于三角形平面。 这样，ABC可以看作是反射面，X射线在这个面上做镜面反射的方向就是散射线发生干涉加强的方向。
⑵ 晶面指标
劳厄方程中的第hkl级衍射，相当于(h*k*l*)晶面的反射。衍射指标和晶面指标之间的关系是
h=nh*, k=nk*, l=nl*
根据晶面指标的定义，进一步求出上图中ABC的晶面指标： ABC在三个晶轴上的截数分别为1/h,1/k,1/l；对截数求倒数，得到h,k,l；将h,k,l化为互质的整数，即，分别除以它们的公因子n，得到h/n,k/n,l/n，这就是晶面指标。可见，如果定义晶面指标为(h*k*l*)，衍射指标和晶面指标之间的关系是
h=nh*, k=nk*, l=nl*
结论：在衍射指标为hkl的衍射中，晶面指标为(h*k*l*)的每个晶面都是反射面。
⑶ 布拉格方程
由于X射线有很强的穿透能力，在X射线作用下，晶体的散射线来自若干层晶面，各晶面的散射线
之间还要相互干涉。
二二二二二二qDAqCdBa差?为
如图所示，相邻两个(h*k*l*)晶面之间的距离为dh*k*l*。AD之前和CD之后的光程相同，所以，光程
??AB?BC?dhIk*lIcos(???)?dhIk*lIcos(???)?2dhIk*lIsin?
同样，如果发生干涉加强，光程差应为波长整数倍
2dh*k*l*sin??n?
上式即为布拉格方程。其中dh*k*l*是(h*k*l*)晶面族中相邻晶面的晶面距，?称为掠射角(或半衍射角、布拉格角)，n称为反射级数。
? 从布拉格方程可知，劳厄方程中的hkl级衍射，可以看作是晶面(h*k*l*)的第n级反射。如，劳厄方程中的422级衍射，在布拉格方程中就是(211)晶面的第2级反射。
? 布拉格方程把宏观量?和微观量d、?联系起来。测定了?，已知?，可求出d；或者，已知d，可求出?。 ⑷ 干涉晶面和干涉指数 布拉格方程可改写成
2dhIk*lInsin???
上式可理解为：劳厄方程的hkl级衍射可以看作是一组晶面的1级反射，这组晶面称为干涉晶面，间距为dh*k*l*/n。(hkl)称为干涉晶面指标。如，(100)晶面的二级反射，可看作是(200)面的一级反射。 注意：1) 干涉晶面指数不一定互质，这一点和晶面指标不同；2) 干涉面是为了简化方程而引入的，不一定是真实存在的原子面，如简单立方类型的晶体的(200)干涉晶面，其中某些面并不是晶体中的原子面。 3. 衍射强度
晶体对X射线的衍射，可归结为原子的散射波进行干涉的结果，原子对X射线的散射又是其中各电子对X射线的散射的总和。 ⑴ 原子的散射因子
设一个电子所散射的X射线的强度为Ie，散射波的振幅为Ee。强度和振幅平方成正比，即Ie?Ee2 和入射X射线相比，一个电子的散射强度是微不足道的，约为5.96×10-28，实验观测到的X射线，是数量极大的电子散射波干涉叠加的结果。
对于一个原子序数为Z的原子，其电子数为Z个。
如果将原子看作一点，原子中所有电子都将集中该点，各电子产生的相干散射波的位相相同，根据波的
叠加原理，总的散射振幅是各电子散射振幅的加和，为ZEe。由于强度和振幅的平方成正比，因此，原子
'的散射强度I?为电子散射强度的Z2倍
'2I??IeZ
实际上，原子有一定大小，不能将电子看作是集中在一点，各电子的散射波存在位相差，叠加后的振幅小于ZEe，令振幅为fEe，其中f 晶胞由原子构成。晶胞内原子的数量和种类影响衍射线的强度。 将晶胞看作是一个散射X射线的整体，晶胞内有n个原子。设晶胞散射波的振幅为FhklEe，Fhkl相当于晶胞内的有效电子数。散射波的强度为 I?IeFhkl2 (5-7-4) Fhkl称为结构振幅，它是一个晶胞的相干散射波振幅和一个电子的相干散射波振幅之比；Fhkl称为几 何结构因子(简称结构因子)。 可以证明(参见课本p.582)，结构因子的表达式为 Fhkl??fjej?1n2?i(hxj?kyj?lzj) (5-7-5) 由于它的表达式含有衍射指标hkl，所以应用下标注明衍射指标。式中fj是第j个原子的散射因子，xj, yj, zj为第j个原子在晶胞内的分数坐标。可见，结构因子和原子的散射因子、衍射指标、以及原子的分数坐标有关。 将(5-7-5)式带入(5-7-4)式，得到 ?nI?Ie??fjcos2?(hxj?ky?j?1??n?lzj)??Ie??fjsin2?(hxj?ky??j?12jj??lzj)??2 (5-7-6) ⑶ 系统消光 如果已知原子的散射因子，根据衍射强度I可以计算出晶胞内原子的分数坐标；反之，如果已知原子分数坐标，可以计算出衍射线的强、弱和消失的规律。衍射线强度为零时，衍射线消失，称为消光。 下面给出的例子是几种结构类型的消光规律 (讨论中均假设，晶胞内都是同种原子，因而各原子的散射因子f相同) 【例】体心结构 晶胞中含有两个相同的原子，分数坐标为(0,0,0)和(1/2,1/2,1/2)，将分数坐标带入(5-7-.6)式，得到衍射强度为 I?Ief2?1?cos(h?k?l)??2?Ief2?sin(h?k?l)??2 由于hkl均为整数，所以第二项为0， I?Ief2?1?cos(h?k?l)??2 从上式可以看出，若h+k+l=奇数，则I=0。 ? 上例表明，并不是满足劳厄方程的hkl级衍射都能发生，在体心结构中，不会出现h+k+l=奇数的衍射线，如100、322等级次的衍射不会出现。这种按劳厄方程或布拉格方程原本应该产生的部分衍射成群消失的现象称为系统消光。系统消光与晶体结构的点阵型式有关。 【例】面心结构 晶胞中含有四个相同的原子，分数坐标为(0,0,0)、(1/2,1/2,0)、(1/2,0,1/2)、(0,1/2,1/2)，衍射强度为 I?Ief2?1?cos(h?k)??cos(k?l)??cos(l?h)??2 hkl全为偶数或全为奇数时，I不为0；否则，若奇偶混杂，则I=0，产生消光。 【例】简单结构 晶胞中只有一个原子，坐标为(0,0,0)，衍射强度为 I?Ief2 从上式可以看出，简单结构不会产生消光。 【例】金刚石形结构 晶胞中含有8个原子，分数坐标为(0,0,0)、(1/2,1/2,0)、(1/2,0,1/2)、(0,1/2,1/2)、(1/4,1/4,1/4)、(3/4,3/4,1/4)、(3/4,1/4,3/4)、(1/4,3/4,3/4)。衍射强度为 ???22I?Ief?1?cos(h?k)??cos(k?l)??cos(l?h)???2?1?cos(h?k?l)? 2??和面心结构相同，奇偶混杂时会产生消光；此外，h+k+l=4n+2时，也会产生消光。