初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀
及几何规律汇编
人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
初中几何常见辅助线作法歌诀
人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆
半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。
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要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
线、角、相交线、平行线
规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一
1n(n－1)条. 21规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分.
2条直线，一共可以画出
规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为
1n(n－1)条. 2规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段
长的一半.
例：如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点.
求证：MN =
1AC 211AB ,BN = CN = BC 22- 2 -
AMBNC证明：∵M是AB的中点，N是BC的中点
∴AM = BM =
∴MN = MB+BN = ∴MN =
111AB + BC = (AB + BC) 2221AC 21(AB + BC) 2练习：1.如图，点C是线段AB上的一点，M是线段BC的中点.
求证：AM =
ACMB
2.如图，点B在线段AC上，M是AB的中点，N是AC的中点.
求证：MN =
3.如图，点B在线段AC上，N是AC的中点，M是BC的中点. 求证：MN =
规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有
1BC 2AMNBC
1AB 2ANBMC
1n(n－1)个. 2规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）
个.
规律7. 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角.
规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角
形一共可作出
1n(n－1)(n－2）个. 61n(n－1)个. 2规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o. 规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为
规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.
规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，
同旁内角的角平分线互相垂直.
例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. AEBFAEB HAEBHFH FCDCDGG CD G
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规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：
AB
C?1??ABC+?BCD+?CDE=360?
DE AB
C?2??BCD=?ABC+?CDE
DE C
AB ?3??BCD=?CDE-?ABC
DE
AB
?BCD=?ABC-?CDE?4? DEC AB ?CDE=?BCD+?ABC?5?ED C
CAB ?ABC=?BCD+?CDE?6?规律14.成“8”字形的两个三角形的ED
一对内角平分线相交所成的角等
于另两个内角和的一半.
例：已知，BE、DE分别平分∠ABC和∠ADC，若∠A = 45o,∠C = 55o,求∠E的度数.
解：∠A＋∠ABE =∠E＋∠ADE ①
A∠C＋∠CDE =∠E＋∠CBE ②
B①＋②得 ME∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE =∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE
N∵BE平分∠ABC、DE平分∠ADC， DC∴∠ABE =∠CBE，∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A＋∠C
∴∠E =
1(∠A＋∠C) 2∵∠A =45o,∠C =55o,
o
∴∠E =50
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三角形部分
规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两
点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.
例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N
A 在△AMN中， AM＋ AN＞MD＋DE＋NE ①
在△BDM中，MB＋MD＞BD ② FGMD在△CEN中，CN＋NE＞CE ③ NEB①＋②＋③得 C AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE
证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G, 在△ABF和△GFC和△GDE中有， ①AB＋AF＞BD＋DG＋GF ②GF＋FC＞GE＋CE ③DG＋GE＞DE ∴①＋②＋③有
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE
注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或
与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.
练习：已知：如图P为△ABC内任一点， 求证：
1(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC 2规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内
角的一半.
例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC 的外角∠ACE的平分线，它与BD
的延长线交于D. 求证：∠A = 2∠D
证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线 ∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2 AD∵∠A = ∠ACE －∠ABC ∴∠A = 2∠1－2∠2
12BCE又∵∠D =∠1－∠2
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