∠BDA =∠AEC ∠2 = ∠3 AB = AC
∴△ABD≌△CAE
∴BD = AE且AD = CE ∴AE－AD = BD－CE ∴DE = BD－CE
规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E
求证：BE = CF 证明：（略）
A
F 2BC1D
E 规律28.条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知AC = BD，AD⊥AC于A，BCBD于B
求证：AD = BC
证明：分别延长DA、CB交于点E
∵AD⊥AC BC⊥BD
o
∴∠CAE = ∠DBE = 90在△DBE和△CAE中 ∠DBE =∠CAE
EBD = AC ∠E =∠E
AB∴△DBE≌△CAE
O∴ED = EC，EB = EA
CD∴ED－EA = EC－ EB ∴AD = BC
规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB∥CD，AD∥BC 求证：AB = CD
证明：连结AC（或BD）
A∵AB∥CD，AD∥BC D13∴∠1 = ∠2
24在△ABC和△CDA中， BC
- 11 -
∠1 = ∠2 AC = CA ∠3 = ∠4 ∴△ABC≌△CDA
E∴AB = CD
C练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF， D求证：BE = DF BA
F 规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.
o
例：已知，如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延
长线于E
求证：BD = 2CE
证明：分别延长BA、CE交于F
∵BE⊥CF
o
∴∠BEF =∠BEC = 90
F在△BEF和△BEC中 A∠1 = ∠2 ED BE = BE 12BC∠BEF =∠BEC
∴△BEF≌△BEC
∴CE = FE =
1CF 2o
∵∠BAC = 90 , BE⊥CF
o
∴∠BAC = ∠CAF = 90
o
∠1＋∠BDA = 90
o
∠1＋∠BFC = 90 ∠BDA = ∠BFC 在△ABD和△ACF中 ∠BAC = ∠CAF ∠BDA = ∠BFC AB = AC
∴△ABD≌△ACF ∴BD = CF ∴BD = 2CE
练习：已知，如图，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D，
- 12 -
求证：AB－AC = 2CD
A12D BC
规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角
形.
AD例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，
O求证：∠A = ∠D 证明：（连结BC，过程略）
BC 规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为
证题提供条件.
例：已知，如图，AB = DC，∠A = ∠D 求证：∠ABC = ∠DCB
证明：分别取AD、BC中点N、M， AD连结NB、NM、NC（过程略） CB
规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到
角两边距离相等证题.
例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，
o
求证：∠BAP＋∠BCP = 180
EAN证明：过P作PE⊥BA于E P∵PD⊥BC，∠1 = ∠2 12BDC∴PE = PD
在Rt△BPE和Rt△BPD中 BP = BP PE = PD
∴Rt△BPE≌Rt△BPD ∴BE = BD
∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE ∴AE = CD
∵PE⊥BE，PD⊥BC
o
∠PEB =∠PDC = 90在△PEA和△PDC中 PE = PD
- 13 -
∠PEB =∠PDC AE =CD
∴△PEA≌△PDC ∴∠PCB = ∠EAP
o
∵∠BAP＋∠EAP = 180
o
∴∠BAP＋∠BCP = 180
练习：1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，
PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线 M DAP
BC FN
oo
2. 已知，如图，在△ABC中，∠ABC =100，∠ACB = 20，CE是∠ACB的平分
o
线，D是AC上一点，若∠CBD = 20，求∠CED的度数。
B
E
AC D
规律34.有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，
求证：∠BAC = 2∠DBC
证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 =
又∵AB = AC
∴AE⊥BC
o
∴∠2＋∠ACB = 90∵BD⊥AC
o
∴∠DBC＋∠ACB = 90 ∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC
（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略） （方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）
- 14 -
1∠BAC 2A12DBEC
⑵有底边中点时，常作底边中线
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE = DF 证明：连结AD.
A∵D为BC中点， ∴BD = CD
EF又∵AB =AC
BCD∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE = DF
⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题
例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE
= AF，求证：EF⊥BC
证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC
∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC
oN∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180
Eo
∴2∠BCA＋2∠ACN = 180
Ao
∴∠BCA＋∠ACN = 90
o F即∠BCN = 90
BC∴NC⊥BC
∵AE = AF
∴∠AEF = ∠AFE
又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，
连结DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，
∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB AA∴BD = DN
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