ANAEAEAM?? NBEFEFMCANAM?∴ NBMC∴
∴MN∥BC
规律79.当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形.
⑴有特殊角时，如有30o、45o、60o、120o、135o角时. ⑵涉及有关锐角三角函数值时.
构造直角三角形经常通过作垂线来实现.
例：一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在北偏东60o的方向上，船前进8海里
后到达B，再测C岛在北偏东30的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？
oo
解：由题可作图，且∠CAB = 60 ，∠ABC = 120 ，AB = BC = 8（海里）
o
在Rt△ABC中，BC = 8，∠CBD = 60 ，
∴BD = BC·cos60 = 8×
o
1= 4（海里） 2北C东3CD = BC·sin60 = 8×= 43（海里）
2o
ABD答：船再前进4海里就与C最近，最近距离是43海里. 规律80. 0o、30o、45o、60o、90o角的三角函数值表
三角函数 0o 30o 45o
sinA 0 1 2
22
cosA 1 3 2
22
tanA 0 1 3
3
60o 3 290o 1 0 － 1 23
cotA － 1 0 3 3 3
另外：0o、30o、45o、60o、90o的正弦、余弦、正切值也可用下面的口诀来记忆： 0o可记为北京电话区号不存在，即：010不存在，90o正好相反 30o、45o、60o可记为：
- 36 -
1、2、3、3、2、1， 3、9、27，
弦比2，切比3， 分子根号别忘添.
其中余切值可利用正切与余切互为倒数求得. 规律81. 同角三角函数之间的关系：
22（1）.平方关系：sin??cos??1 （2）.倒数关系：tan??cot??1
（3）.商数关系：tan??sin?cos? cot?? cos?sin?规律82. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角
的正弦值.
规律83. 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角
的正切值.
规律84.三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半.
o
例：已知△ABC中,∠A = 60,AB = 6,AC = 4,求△ABC的面积。
解：作BD⊥AC于D
在Rt△ABD中，BD = AB·sinA
∴S△ABC = =
1 AC·BD 21AC·AB·sinA 21o= ×4×6×sin60 2= 12×A3 2DBC
= 63 规律85.等腰直角三角形斜边的长等于直角边的2倍.
规律86.在含有30o角的直角三角形中，60o角所对的直角边是30o角所对的直角边的3倍.（即30o角所对的直角边是几，另一条直角边就是几倍3.）
规律87.直角三角形中，如果较长直角边是较短直角边的2倍，则斜边是较短直角边的
- 37 -
5倍.
圆 部 分
规律88.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一
辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.
例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：
AC = BD
证明:过O作OE⊥AB于E
O∵O为圆心，OE⊥AB
ACEDB∴AE = BE CE = DE
∴AC = BD
练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径.
O
ABP
规律89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.
例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：
?? AC?BD证明：（一）连结OC、OD
∵M、N分别是AO、BO的中点
∴OM =
11AO、ON = BO 22∵OA = OB
∴OM = ON
∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD ∴Rt△COM≌Rt△DON ∴∠COA = ∠DOB
CADMONB? ∴?AC?BD（二）连结AC、OC、OD、BD
∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴AC = OC BD = OD
- 38 -
∵OC = OD ∴AC = BD
? ∴?AC?BD规律90.有弦中点时常连弦心距
例：如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM
证明：连结OM、ON
∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点 ∴OM⊥AB ON⊥CD ∵AB = CD CA∴OM = ON
N∴∠OMN = ∠ONM MoO∵∠AMN = 90－∠OMN
DBo
∠CNM = 90－∠ONM
∴∠AMN =∠CNM
规律91.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.
例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交⊙O1、⊙O2
于A、C、D、B.求证：AC = BD
证明：过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N，则O1M∥O2N
∴
O1MO1P ?O2NO2PAMO1CP∵O1P = O2P DNB∴O1M = O2N
∴AC = BD
规律92.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：
⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角
例：如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中OED点，求证：CD = CE
AB证明：连结OC C
∵C为弧AB的中点
O2? ∴?AB?BC∴∠AOC =∠BOC
∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO = BO
- 39 -
∴OD = OE =
11AO = BO 22又∵OC = OC
∴△ODC≌△OEC ∴CD = CE
规律93.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 规律94.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.
规律95.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长
线交⊙O于D，求证：AC = DC 证明：连结AD
∵AB为⊙O的直径 Do
∴∠ADP = 90 BO∵AC = PC
1∴AC = CD =AP
2o
ACP
练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90 ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：
BCCF? BEEF规律96.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角. 规律97.有等弧时常作辅助线有以下几种：
⑴作等弧所对的弦 ⑵作等弧所对的圆心角 ⑶作等弧所对的圆周角
练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)
2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC （提示如图） F AM 12CO BABCEDOEG FD2题图1题图
规律98.有弦中点时，常构造三角形中位线.
例：已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =
1AD 2 - 40 -