X
Y 0 1 p? j
-1 0 1/4 1/4 1/6 1/3 5/12 7/12
pi?
1/2
1/2
?0x?1?1?FX(x)??1?x?2；?2??1x?2?0y??1?5?FY(y)???1?y?0.
?12y?0??1?k(6?x?y)0 0其他? （1）常数k； （2）求P{X?1,Y?3}； （3）P{X?1.5}； （4）P{X?Y?4} 1（1）?0?2k(6?x?y)dydx?1?k?; 81313（2）P(X?1,Y?3)??0?2(6?x?y)dydx?; 8824（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,2?Y?4)??21.50?42127(6?x?y)dydx?; 832（4）P(X?Y?4)??0?4?x212(6?x?y)dydx?. 8326 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第三章 多维随机变量及其分布（二） 一、选择题： 1、设随机变量X与Y独立，且X?N(?1,?1),Y?N(?2,?2)，则Z?X?Y仍服从正态分布，且有 [ D ] （A）Z?N(?1??2,?1??2) (B) Z?N(?1??2,?1??2) (C) Z?N(?1??2,?1??2) (D) Z?N(?1??2,?1??2) 2、若(X,Y)服从二维均匀分布，则 [ B ] （A）随机变量X,Y都服从均匀分布 （B）随机变量X,Y不一定服从均匀分布 （C）随机变量X,Y一定不服从均匀分布 （D）随机变量X?Y服从均匀分布 二、填空题： 2222222222?2xy?x?,0?x?1,0?y?21、设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??， 3?其他.?0,则P(X?Y?1)? 。 11?x1xxy2x25x37(x?)dy?1??(??)dx? 0633682 1?P(X?Y?1)?1??dx?00?32?x,0?x?22、设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为f(x)??8，设A?{X?a}与 ??0,其他B?{Y?a}相互独立，且P(A?B)?3，则a? 4a034 。 P(A)?P(X?a)?1?P(X?a)?1??3x2a3dx?1? 88P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2P(A)?[P(A)]2 27 a3a32a63 ?2(1?)?(1?)?1?? 88644三、计算题： ab,P{Y??k}?2,(k?1,2,3)，X与Y独立，确定a，b的值，求出(X,Y)kk的联合概率分布以及X?Y的概率分布。 1．已知P{X?k}? 解：由归一性 ?P(X?k)?a?kaa11a6???1 所以 a? 23611bb49b36 ???1 所以 b?493649 Y ?3 ?2 ?1 X 1 24/539 54/539 216/539 2 12/539 27/539 108/539 3 8/539 18/539 72/539 由归一性 ?P(Y??k)?b?k(X,Y)的联合概率分布 由于 P(X?Y??2)? P(X?Y??1)?24 539666 ?5394925112672 P(X?Y?1)? P(X?Y?2)? P(X?Y?0)?539539539X?Y的概率分布为： X?YP ?224539?16653901272 539251126539539?12e?3x?4y,x?0,y?02．随机变量X与Y的联合密度函数为f(x,y)??，分别求下列概率密度函 其他?0,数：（1）Z?X?Y； （2）M?max{X,Y}； （3）N?min{X,Y}。 解：（1）FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) ?x?y?z??f(x,y)dxdy??dx?0zz?x012e?3x?4ydy 28 ?3?z?3x0e(1?e?4(z?x))dx ?(?e?3x?3ex?4z)|z0 ?1?4e?3z?3e?4z 即 F?0z?0Z(z)???1?4e?3z?3e?4zz?0 所以 Z的概率密度函数为 f?0z?0Z(z)???12e?3z?12e?4zz?0 或 当z?0时，fZ(z)?0 当z?0时， fZ(z)??????f(x,?zx) dx ??z012e?3x?4(z?x)dx ?12e?4z?ex|z0 ?12e?4z?(ez?1) 所以 Z的概率密度函数为 f?0z?0Z(z)???12e?3z?12e?4zz?0 （2）由于fxX(x)????)dy??????f(x,y012e?3x?4ydy?3e?3 fY(y)????f(x,y)dy??????012e?3x?4ydx?4e?4y 则X与Y相互独立。 当z?0时，FM(z)?0 当z?0时，FM(z)?P(M?z)?P(X?z,Y?z)?P(X?z)P(Y?z) ?FX(z)FY(z)?(1?e?3z)(1?e?4z) 所以 f?0M(z)???3e?3z(1?e?4z)?4e?4z(1?3?3z)?3e?3z?4e?4z?7e?7z29 z?0z?0 （3） 当z?0时，FN(z)?0 当z?0时， FN(z)?P(N?z)?1?P(N?z)?1?P(X?z,Y?z)?1?P(X?z)P(Y?z) ?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]?1?e 所以 fN(z)?? 3．设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布U(0,1)。试求 （1）Z?X?Y的分布函数与概率密度函数； （2）U?2X?Y的概率密度函数。 解：（1）fZ(z)??3z?4ze?1?e?7z ?0?7z?7ez?0z?0 ??????z?x? 1)fX(x)fY(z?x)dx (0?x?1,0 当z?0或z?2时，fZ(z)?0 当0?z?1时，fZ(z)? 当1?z?2时，fZ(z)??1z0dx?z dx?2?z ?z?10?z?1?z? 所以，fZ(z)??2?z1?z?2 ?0其他? （2）当u??1时，FU(u)?0；当u?2时，FU(u)?1 当?1?u?0时，FU(u)??1udy?y?u20dx??1uy?u1dy?(1?2u?3u2)； 24 当0?u?1时，FU(u)??10dy?1y?u20dx?2x?u1(1?2u)； 4 当1?u?2时，FU(u)?1??dx?u20u2dy?u? 430