P(1?X?3)?34 得 32a?532b?c?4 ?????f(x)dx?1 得 2a?6b?2c?1
所以 解得a?14,b??14,c?1. (2)D(X)????2214??(x?2)f(x)dx??04x(x?2)2dx??2(1?14x)(x?2)2dx
?23 (3)E(Y)????x??ef(x)dx??214xexdx??402(1?114x)exdx?4(e2?1)2
D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2??????e2xf(x)dx?[12224(e?1)] ?14e2(e2?1)2
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（三）
一、选择题：
1．对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?EX?EY，则 [ C （A）D(XY)?D(X)D(Y) （B）D(X?Y)?D(X)?D(Y) （C）X与Y相互独立 （D）X与Y不相互独立
2．由D(X?Y)?D(X)?D(Y)即可断定 [ A ] （A）X与Y不相关 （B）F(x,y)?FX(x)?FY(y)
36
]
（C）X与Y相互独立 （D）相关系数?XY??1 二、填空题：
1．设维随机变量(X,Y)服从N(0,0,1,1,0)，则D(2X?3Y)? 13 2．设X与Y独立，且D(X)?6，D(Y)?3，则D(2X?Y)? 27 三、计算题：
1． 已知二维随机变量(X,Y)的分布律如表： 试验证X与Y不相关，但X与Y不独立。 解：X的分布律为:
X ?1 0 1 P 0.375 0.25 0.375 Y的分布律为:
X ?1 0 1 P 0.375 0.25 0.375
E(X)?(?1)?0.375?0?0.25?1?0.375?0
X Y ?1 0 1 ?1 0.125 0.125 0125 0 0.125 0 0.125 1 0.125 0.125 0.125 E(Y)?(?1)?0.375?0?0.25?1?0.375?0
E(XY)?(?1)?(1)?01.25??(1)?0?0.125?(?1)?1? 0. ?0?1?(?1)?0.125?0?1?1?0.125 = 0
?xy?E(XY)?E(X)E(Y)?0 所以X与Y不相关。
P(X??≠1,Y??1)?0.125P(X??1)P(Y??1)?0.375?0.375 所以X与Y不相互独立。
2．设D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4，求：D(X?Y),D(X?Y) 解：Cov(X,Y)??xy?D(X)D(Y)?0.4?5?6?12
D(X?Y)?D(X)?2Cov(X,Y)?D(Y)?85， D(X?Y)?D(X)?2Cov(X,Y)?D(Y)?37
37
3．设X~N(0,4),Y~U(0,4)，且X，Y相互独立，求：E(XY),D(X?Y),D(2X?3Y)
4244?0解：E(X)?0,D(X)?4， E(Y)??，?xy?0 ?2，D(Y)?1232 E(XY)?0,
416?, 33D(X?Y)?D(X)?D(Y)?4?D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?16?12?28
?e?(y?5)?2x0?x?14．设X，Y相互独立，其密度函数分别为fX(x)??，fY(y)??其它?0?0y?5y?5，求
E(XY)
2x312解：E(X)??x?2xdx?|0?
0331 E(Y)????5)??y?e?(y?5dy??ee5?y(y?1)| 65?E(XY)?E(X)E(Y)?
2?6?4 3概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号 第五章 大数定律与中心极限定理
一、选择题：
1．设?n是n次重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意的??0均有limP{n???nn?p??} [ A ]
（A）?0 （B）?1 （C）?0 （D）不存在
2．设随机变量X，若E(X)?1.1,D(X)?0.1，则一定有 [ B ]
238
（A）P{?1?X?1}?0.9 （B）P{0?X?2}?0.9 （C）P{|X?1|?1}?0.9 （D）P{|X}?1}?0.1
3．X1,X2,?,X1000是同分布相互独立的随机变量，Xi~B(1,p)，则下列不正确的是 [ D ]
1000b?1000pa?1000p11000P{a?X?b}??()??() （A） （B）X?p??ii1000i?11000pq1000pqi?11000 （C）
?Xi?1i~B(1000,p) （D）P{a??Xi?b}??(b)??(a)
i?11000二、填空题：
1．对于随机变量X，仅知其E(X)?3,D(X)?2241. ，则可知P{|X?3|?3}? 22525 2．设随机变量X和Y的数学期望分别为?2和2，方差分别为1和4，而相关系数为?0.5，则根据契比雪夫不等式PX?Y?6? 三、计算题：
1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？
解：设第i件零件的重量为随机变量Xi，根据题意得EXi?0.5,DX?0.1.
5000??1. 12 E(?X)?5000?0.5?2500,D(?X)?5000?0.01?50.
iii?1i?150005000P(?Xi?2510)?P(
i?15000?Xi?1i?250050?10)50?1??(2)?1?0.9207?0.0793.
2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在
(?0.5,0.5)上服从均匀分布。
（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
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（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？
1500 解：（1）X?U(?0.5,0.5),E(?Xi)?0,D(?Xi)?1500?i?1i?115001?125. 1215001500 P(|?Xi|?15)?P(i?1n?Xi?1ni125?1535)?2[1??()]?2[1??(1.3)]?0.18.
5125 （2）P(|?Xi|?10)?P(i?1|?Xi|i?1n12?1010)?0.90??()?0.95. nn1212 根据?的单调性得10102?1.645，故n?12?()?443.4.
1.645n12 所以n最多为443个数相加.
3．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。
（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 解：（1）令Xi?1为第i个病人治愈成功，反之则Xi?0. 令Y??X,Y?B(100,0.8),E(Y)?80,D(Y)?16.
ii?1100)P( P(Y?75?Y?807?5805??)?(?)416160.8 944. （2）令Xi?1为第i个病人治愈成功，反之则Xi?0.
令Y??X,Y?B(100,0.7),E(Y)?70,D(Y)?21.
ii?1100P(Y?75)?P(Y?7075?705?)?1??()?0.1379. 212121 4．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个
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