??0u??1?1?(1?2u?3u2)?1?u?0 即 U?2X?Y的分布函数为： F?4?1U(u)??(1?2u)0?u?1 ?4?u2?u?1?u??42??1u?2 所以 U?2X?Y的概率密度函数为：
??13u2??1?u?0?21f(u)?F(u)???0?u?1UU??
?2?1?u1?u?2?2??0其它
4．设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为f?10?x?1?Ae?yX(x)??，?0其它fY(y)???0求：（1）常数A， （2）随机变量Z?X?Y的概率密度函数。 解：（1） 由于1?F?yY(??)????0Aedy??Ae?y|??0?A，所以A = 1
（2） 随机变量Z?X?Y的概率密度函数
f??Z?z?????fX?x?fY?z?x?dx （0?x?1,z?x?0）
当Z?0时，fZ?z??0 当0?z?1时，fZ?z???z01?e?(z?x)dx?e?z?zexdx?1?e?z0
当z?1时， fZ?z???10e?(z?x)dx?e?z?1exdx?e?z?1?e?z0
31
y?0y?0，
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一）
一、选择题：
1．设随机变量X，且E(X)存在，则E(X)是 [ B ] （A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数
x?1?9?e 2．设X的概率密度为f(x)??9?0?x?0x?0，则E(?1X)? [ C ] 9xx1??1??99 （A）?x?edx （B）??x?edx （C）?1 （D）1
9??9?? 3．设?是随机变量，E(?)存在，若?? （A）E(?) （B）二、填空题：
??23，则E(?)? [ D ]
E(?)E(?)2 （C）E(?)?2 （D）? 333 1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则E(X)? 0.5
(x?1)?1e8，则E(2X2?1)? 9 2．设X为正态分布的随机变量，概率密度为f(x)?22?222 ? 3．设随机变量X的概率分布 X ? 1 0 1 2 ，则E(X?3X)? 116/15
P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
4．设随机变量X的密度函数为f(x)?1?|x|e(???x???)，则E(X)? 0 2三、计算题：
1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编
32
号，求E(X)
解：X的可能取值为3，4，5
2C32C43611 P(X?3)?3?， P(X?4)?3? P(X?5)?3?101010CCC555E(X)?3?
133?4??5??4.5 101052．设随机变量X的密度函数为f(x)???2(1?x)0?x?1，求E(X)
0其它?解：E(X)?
?10x?2(1?x)dx?1 3 3．设随机变量X~N(?,?)，求E(|X??|) 解：
2????|x??|y2212??dy?e2??(x??)22?2dx令y?x????2?????|y|e?y22dy
?2?2???0ye???
?e?x 4．设随机变量X的密度函数为f(x)???0（1） Y1?e?2Xx?0x?0，试求下列随机变量的数学期望。
（2）Y2?max{X,2} （3）Y3?min{X,2}
解：（1）E(Y)? （2）E(Y2)????0e?2x?e?xdx???21 3?2202e?xdx??xe?xdx
?2 ?2?2e（3）E(Y3)??3e?2?2?e?2
??2?0xedx??2e?xdx
?2e?2?1?e?2
?x ?1?3e
?233
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（二）
一、选择题：
1．已知E(X)??1,D(X)?3，则E[3(X?2)]? [ B ]
2 （A）9 （B）6 （C）30 （D）36
2．设X~B(n,p)，则有 [ D ] （A）E(2X?1)?2np （B）D(2X?1)?4np(1?p)?1 （C）E(2X?1)?4np?1 （D）D(2X?1)?4np(1?p)
3．设?服从参数为?的泊松分布，??2??3，则 [ D ] （A）E(?)?2??3D(?)?2??3 （B）E(?)?2?D(?)?2?
（C）E(?)?2??3D(?)?4??3 （D）E(?)?2??3D(?)?4? 二、填空题：
1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 D(X)? 0.45 2．设随机变量X的密度函数为f(x)?1?|x|e(???x???)，则D(X)? 2 2D(X)? 1/3 2[E(X)] 3．随机变量X服从区间[0，2]上的均匀分布，则
4．设正态分布Y的密度函数是1?e?(y?3)，则D(X)? 1/2
2三、计算题：
1．设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求：Y?2X?1的期望与方差；
解：E(X)?1?0.3?2?0.5?3?0.2?1.9
D(X)?E(X2)?(EX)2?1?0.3?4?0.5?9?0.2?(1.9)2?0.49
34
E(Y)?2E(X)?1?2.8 D(Y)?4D(X)?1.96
2．设随机变量X~N(0,1)，试求E|x|、D|X|、E(X)与E(X)
34| 解： E|X??????|x?|12??ex22d?x2???12?0e?x22dx = sqrt(?/2)
E(X2)????x22???e?x22dx?????x2???de?x22??12?[xe?x22??????e?????x22dx] = 1
所以D|X|?E(|X|2)?(E|x|)2?E(X2)?1??/2?1
? E(X)?3????x32?x4e??x22dx = 0
? E(X)?
4???2?ex22dx???x3??2?de?x22??3?x2??2?e?x22dx = 3
0?x?2?ax3?3．设随机变量X的分布密度为f(x)??bx?c2?x?4，已知E(X)?2,P(1?X?3)?，求：
4?0其它?（1）常数A，B，C的值； （2）方差D(X)； （3）随机变量Y?e的期望与方差。 解：（1）2?E(X)? ?X?20x?axdx??x(bx?c)dx
2456a32b34c248b?6c x|0?x|2?x|2?a?33332856a?b?6c?2 3335
得