四、应用题（第一题7分，第二题6分，共13分）
1、过坐标原点作曲线y?lnx的切线, 该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形为D。 (1) 求D的面积。
(2) 求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
12、对于任意x?0，曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于?f(t)dt，
x0求f(x)的表达式。
a?b22在(a,b)内可导，且f(x)dx?f(b), 3、设f(x)在区间[a,b]上连续，?ab?ax求证在（a,b）内至少存在一点?，使f?(?)?0。
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上海应用技术学院2008—2009学年第一学期
《高等数学》工科本科期末综合练习卷2
班级： 姓名： 学号： 分数： 解答
一、选择题
1、当x?0时，(1?cosx)ln(1?x2)是比xsinxn高阶的无穷小，且xsinxn是比ex?1的高阶的无穷小，则正整数n等于（ ） ---------------------------------------------------- [B] （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
21?2?n,?1?n 2 4?n?,2、设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?f(x) （ ）--[D] x（A）在x?0处左极限不存在 （B）在x?0处右极限不存在 （C）有跳跃间断点x?0 （D）有可去间断点x?0
x?0limg?x??limf?0?3x??f?0??3?3f??0?
x?03x3、若f(x)在x?0处连续且有limf(3x)?1则f?(0)?（ ）----------------- ---[B]
x?0ln(2x?1)（A）
321 （B） （C）6 （D） 236x?0 ∵limln?1?2x??0,?limf?3x??f?0??0,∴1?limx?0f?0?3x??f?0?33??f??0?,
x?03x224、y?f(x)有f?(x0)?k?0且k?1，当?x?0时,f(x)在点x?x0处的微分dy（ ） （A）与?x等价无穷小 （B）与?x同阶无穷小，但不等价 （C）比?x高阶的无穷小 （D）比?x低阶无穷小 limf??x0?dxdy?lim?f??x0?------------------------------------------------------------------[B]
?x?0?x??x0?xf(0)?0，lim5、若f(x)在x?0的某领域内连续且f(x)??1则点x?0处（）
x?01?cosx（A）是f(x)的极大值点 （B）是f(x)的极小值点
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（C）不是f(x)的驻点 （D）是f(x)的驻点但不是极值点
f?0?x??f?0?f(x)f?0?x??f?0?xx?0∵lim ?lim?2?limx?01?cosxx?0x?0xx2x2xf?0?x??f?0??0,?lim?0,?f??0??0,否定C. x?02x?0xf(x)??0又∵lim.----------------[A] ??1,1?cosx?0,由极限保号性得f?x??0?fx?01?cosx∵lim6、设f(x)在[a,b]上可导，且f?(x)?0。若?(x)??xa f(t)dt，则下列说法正确的是（ ）
（A）?(x)在[a,b]上单调减少 （B）?(x)在[a,b]上单调增加
（C）?(x)在[a,b]上为凹函数 （D）?(x)在[a,b]上为凸函数 ????f??0-----------[C]
????f??0--[C]
7、已知当x ?[0? 1]时，f ??(x)>0，则f ?(0), f ?(1)与f(1)?f(0)的大小顺序（ ）---------------[C] （A） f ?(1)?f ?(0)?f(1)?f(0)? （B）f ?(0)?f ?(1)?f(1)?f(0)? [f?1??f?0??f????] （C） f ?(1)?f(1)?f(0)?f ?(0)? （D）f(1)?f(0)?f ?(0)?f ?(1) [0???1] 8、设f(x)在(a,b)存在二阶导数，x0为(a,b)内一个驻点，则(（A）若x0为唯一驻点，f(x0)必为最值点。 （B）若f??(x0)?0,) ---------------------[C] f(x0)必为最值点
（C）f??(x0)?0,f(x0)必为极小值。 （D）若f??(x0)?0,f(x0)不为极值点。
x9、设e是f(x)的原函数，则下列选项正确的是（ ）----------------------------------------[A]
2（A）f(x)?2xex? （B）f(x)dx?e; （C）f?(x)?ex; （D）edx?f(x)?C
2?x22?x2cosx10、设y?f(x)是微分方程y???2y??e?0的解且有f?(x0)?0，则x0为f(x)的一个
（ ）。y??x?（A）极大值点
0??e?soc
x00?----------------------------------------------------------------------------[A]
（C）既非极大也非极小
（D）不能确定
（B）极小值点
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211、曲线y?x2上相应于x从3到8的一段弧的长度为（ ）------------------------[A]
3（A）
12、若f(x)?x38382838 （B） （C）9 （D）6 L??1?xdx?
3333?2x0tf()dt?ln2，则f(x)?（ ）-------------------------------------[B] 22x（A）eln2 （B）e二、填空题
ln2 （C）ex?ln2 （D）e2x?ln2.f??2f,f?Ce2x,f?0??C?ln2
?1?a?x2??a?b?x?bx2??1 ?ax?b)??1,则a?_??1?,b?_?0?. lim1、设lim(x??1?xx??x?1x2?4x2?1sin?______.------------------------------------------------------------------[0] 2、lim3x??x?2xx?23、f(x)?sin[(x?1)x]有间断点 ，可去间断点是 ，渐近线是 。 2x(x?3x?2) [x?0,x??1,x??2, x?0, y?0,x??1,x??2] 4、设limf(x)?bsinf(x)?sinb?A则lim?_________。------------------------[Acosb]
x?ax?ax?ax?af?x??bf?x??b2cossinsinf(x)?sinb22∵lim?x?a??0,?limf?x??b,lim ?limx?ax?ax?ax?ax?ax?a ?2cosblimf?x??b?Acosb
x?a2?x?a?5、若f?(u)在u?1处连续且f?(1)?2，则lim?x?0df(cosx)＝ 。-------------[－1]
dxxa?06、f(x)的一个原函数为2, 则f(x)= [0]，f?x?dx?_?C?， ?f(x)dx .?____?__?d7、。---------------------------------------------------[f?x??f?a?] (x?t)f?(t)dt?_______?dxa8、设f(x)在[0,??)上连续，且
x?x0????f(t)dt?x(1?cosx)，则f???__。---------[1?]
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9、设
?f(x)dx?arcsinx?c，则f(x)? 。-------------------[1] 2x1?x10、已知y?y(x)在任意点x处的增量?y?y?x??，且当?x?0时，?是?x的 21?xy1?x2高阶无穷小，y(0)??，则y(1)? 。[y??,y?Cearctanx]-----------[?e?4]
11．微分方程y???7y??12y?0的通解_____________。--------------------[y?c1e3x?c2e4x] 12．对于微分方程y???3y??2y?e?x，利用待定系数法求其特解y*时，应设其特解
。----------------[Axe?x] y*?___________ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）三、计算题（本大题共8小题，每题6分，共48分） 1、求lim[(x?2)e?x]
x??1x?2?1xx?21xe?1?1??e?1?lim?x? 解: lim[(x?2)e?x]?limx.
x??11x??x??xx1x?2 ?limx??x2?e1x?1?2?1x2?x?e1x??1x2?2?1?3
2、求lim(cosx)x?01?cot2x
csc2xlimln?cosx?sin2x 解: lim(cosx)x?01?cotx2?lim?cosx?x?0?limex?0csc2x?ln?cosx??ex?0
?e?tanxx?02xlim?1 e23、已知f?(x)?tanx,设y?f(2x),求dydxx??8
解:
dydy?4x?f??2x2??4xtan?2x2?,
dxdxx??8?2?.
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