4、求曲线sinxy?lnx?1?1在点(0,e)处的斜率。 y1y?????0, (0,e)代人: (0,e) y??0,e??e1?e 1?xy 解: cos?xy???y?xy???cx?cx)??te2tdt。 5、求c的值，使lim(??x???x?c 解: 左?e2C, 右?12C?1?5
e?C??. C?. 22??2
x1?0) (limx?e2x?lim?2x?limx???x???ex????2e?2x
1112?1?x?f(x)dx,求?f(x)dx 。 6、设f(x)?001?x2 解: f?x?? A?11?x2?A?10?A?1?x2 两边在[0, 1]上定积分: 1?x2dx??4?4?A??20cos2tdt???1?A?4
A?
?4??, ∴f(x)?1???1?x2 21?x4??27、设F(x)为f(x)的一个原函数，当x?0时有f(x)F(x)?sin2x且F(0)?1,F(x)?0.
求f(x).
解: F??f代入, F??F?sin22x,解得F2?x?sin4x?C ∵F?0??1,. F2?x?sin4x?1,
14141?cos4x? 两边求导: f?x??2F?x?sin22x 1x?sin4x?14
8、求微分方程(4y?x) 解:
08-09综(2)解第 11 页 共 12 页
3dy?y的通解。 dxdxx1?p?y?dyp?y?dy??4y2, x?e?C??q?y?e?dy??C?y4?. (C为任意常数) dyyy??四、应用题（第一题7分，第二题6分，共13分）
1、过坐标原点作曲线y?lnx的切线, 该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形为D。 (1) 求D的面积。
(2) 求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
1?X?x?, ?X,Y???0,0?代入得x?e,y?1. xx
切线:y?
e1e?2 y D的面积A???ey?ey?dy???
02e12??3?e? 0 1 e x 体积=圆锥体－旋转体=??12?e???ln2xdx???133 解: 设切点?x,y?, 切线: Y?lnx?2、对于任意x?0，曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于
1f(t)dt，求f(x)的表达式。 ?x0 解: 切线:Y?y?y??X?x?,X?0代入,Y?y?xy??xx1xf?t?dt ?0x ∴xy?x2y???f?t?dt, 两边求导: x2y???xy??0. 属缺y型.
0 记y??p?x?得:p??
cdy?p, y?c1lnx?c2 , p?1?xxdxa?b22在(a,b)内可导，且f(x)dx?f(b), 3、设f(x)在区间[a,b]上连续，?b?aa求证在（a,b）内至少存在一点?，使f?(?)?0。
a?b22?a?b?2f(x)dx?fx?a 证明: ∵?????f?x0??f?b? 0?ab?ab?a?2?a?b???b? ∴在?x0, b?上,??,使f?(?)?0。 ?a?x0?2??
08-09综(2)解第 12 页 共 12 页