第二章 质点动力学 中国石油大学 远程与继续教育学院
?解得 a?gtg （2）转动参考系
相对于惯性系转动的参考系，叫转动参考系。转动参考系为非惯性系。由于转动参考系中的坐标轴的方向转动着，比较复杂。故这里仅考虑匀角速转动参考系，且只考虑物体相对转动参考系静止的情况。
2-5（a） 2-5 (b)
如图2－5所示，在水平放置的转台上，有轻弹簧系在细绳中间，细绳的一端系在转台中心，另一端系一质量为m的小球，设转台平面非常光滑，它与小球和弹簧的摩擦力均可略去不计。转台可绕垂直于转台中心的竖直轴以匀角速度?转动，有两个观察者，一个站在地面上（处在惯性系中2-1-5a 转动参考系1.swf），另一个相对转台静止并随转台一起转动（处在非惯性系中2-1-5b转动参考系2.swf）。当转台转动时，站在地面上的观察者观察到弹簧被拉长。这时，绳对小球作用的力为指向转台中心的向心力F。力F的大小为ml?。 从牛顿第二定律来说，这一点是很好理解的，在向心力作用下，小球作匀速率圆周运动。而相对转台静止的另一个观察者，虽也观察到弹簧被拉长，有力F沿向心方向作用在小球上，但小球却相对转台静止不动，这就不好理解了，为什么有力作用在小球上，小球却静止不动呢？于是这个观察者认为，要使小球保持平衡的事实仍然遵从牛顿第二定律，就必须想像有一个与向心力方向相反、大小相等的力作用在小球上，这个力Fi叫做惯性离心力，应当注意，向心力和惯性离心力都是作用在同一小球上的，它们不是作用力和反作用力，也就是说，它们不服从牛顿第三定律。
§2-2牛顿运动定律的应用
牛顿运动定律中所说的物体都是指质点而言的。通常，在惯性参考系中，利用牛顿运动定律，并结合质点运动学，可以解决质点动力学的两类问题：
（1）已知作用于质点的力，求质点的运动，如位置 r(t)、速度 v(t)和加速度 a(t)等。在这类问题中，已知的作用力可能是恒力，也可能是变力。 （2） 已知质点的运动状况，求作用于质点上的力。
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求解上述两类问题都离不开牛顿第二定律。这条定律是针对单个质点而言的；若涉及到两个或两个以上质点的运动时，就得逐个分别运用牛顿第二定律。在应用牛顿运动定律解题时，采用一种所谓“隔离体法”，即把所要研究的物体隔离出来，这个被隔离出来的物体叫做隔离体。
用隔离体法解题时，大致可按下列步骤进行：
1.根据题设条件和需求，有目的地选一个或几个隔离体作为研究对象；
2.选定可以作为惯性系的参考系，分析隔离体相对于惯性系的运动状况，在图上标出；
3.分析隔离体的受力情况，画示力图，并标示出其运动情况； 4.按牛顿第二定律列出质点运动方程（矢量式）；
5.取合适的坐标轴，对上述矢量形式的质点运动方程，写出它沿各轴的分量式；
6．解出用字母表示的所求结果（代数式）；如题中给出已知量的具体数据，应将各量统一换算成用国际制单位来表示，再代入用字母表示的式中算出答案。必要时，还应对所求得的结果进行讨论。
例2-1: 如图2-6，水平地面上有一质量为M的物体，
静止于地面上。物体与地面间的静摩擦系数为?s， 若要拉动物体，问最小的拉力是多少？沿何方向？
图 2-6 M ?
F ? N M ? f ? F y o ? P x
? ?图 2-7
解：（1）研究对象：M （2）受力分析：M受四个力，重力P，拉力
???T ，地面的正压力N，地面对它的摩擦力f，见受力图2-7。
（3）牛顿第二定律：
??????????合力： F?P?T?N?f?P?T?N?f?Ma 分量式：取直角坐标系
x分量：Fcos??f?Ma ①
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y分量：Fsin??N?P?0 ②
物体启动时，有 Fcos??f?0 ③ 物体刚启动时，摩擦力为最大静摩擦力，即f??sN，由②解出N，求得f 为：
f??s(P?Fsin?) ④
④代③中：有 F??sMg/(cos???ssin?) ⑤ 可见：F?F(?)。T?Tmin时，要求分母(cos???ssin?)最大。
设A(?)??ssin??cos?
dA??scos??sin??0 ?tg???s d?d2A???ssin??cos??0 ∵ 2d?∴ tg???s时，A?Amax ?F?Fmin。??arctg?s代入⑤中，
??Mg11?2??s得： F??sMg/??s ?222?1??s1??s?1??s???F 方向与水平方向夹角为??arctg?s时，即为所求结果。
强调：注意受力分析，力学方程的矢量式、标量式（取坐标）。
例2-2：质量为m的物体被竖直上抛，初速度为v0，物体受到的空气阻力数值为f?KV，
K为常数。求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度。
??解：（1）研究对象：m（2）受力分析：m受两个力，重力P及空气阻力f，如图2-8。 y （3）牛顿第二定律：
??????合力：F?P?f P?f?ma
dVmdV???dt y分量：?mg?KV?mdtmg?KVdV1??dt 即
mg?KVmvtdV1???v0mg?KV?0mdt
1mg?KV1ln??dt Kmg?KV0m? f ? p o 抛 出 点 y =0
图 2-8
x mg?KV?eK?tm?(mg?KV0)
K?t11?V?(mg?KV0)em?mg ①
KKV?0时，物体达到了最高点，可有t0为
t0?KV0mmg?KV0mln?ln(1?) ② KmgKmg第二章 质点动力学 中国石油大学 远程与继续教育学院
dy ∴ dy?Vdt dtK?t?ytt?11mdy?Vdt?(mg?KV)e?mg?dt 0?0?0?0?KK??t??K?1my??2(mg?KV0)?em?1??mgt
K??K∵ V?K?t??m1m?2(mg?KV0)?1?e??mgt ③ K??Kt?t0 时，y?ymax，
ymaxKVKm??ln(1?0)??KV0m1mmg?2(mg?KV0)?1?emK) ??mg?ln(1?KmgK????K?mK2?mK2????m2KV01??2gln(1?(mg?KV0)?1?)
mg?KVmgK?0??mg???mV0m2KV0KV0KV0m2?2gln(1?) (mg?KV0)?2gln(1?)?Kmgmg?KV0KmgK例2-3：长为l的轻绳，一端系质量为m的小球，另一端系于原点o，开始时小球处于最
?低位置，若小球获得如图所示的初速度v0，小球将在竖直面内作圆周运动，求:
小球在任意位置的速率及绳的张力。
解：（1）研究对象：m（2）受力分析：小球受两个力， ??即重力mg，拉力Fn，如图2-9。
???（3）牛顿定律：Fn?mg?ma 应用自然坐标系，运动到处时，分量方程有，
v2?en方向：Fn?mgcos??man?m ①
ldv?ei方向：?mgsin??mat?m ②
dtdvdvd?dvvdv?????由②有： ?gsin?? dtd?dtd?ld??d? 即 vdv??lgsin作如下积分： 有
? v o ? Fn ? e n ? et A ? m g ? v o
? 图 2-9
? a0
?vv0vdv???lgsin?d?
0?122(v?v0)?lg(c?os?1) 2? a1 ? m2 m1 图 2-10
?
a 2?
2?2lg(c?os?1) 得： v?v02v0s?2g) v代①中，得： Fn?m(?3gco?l第二章 质点动力学 中国石油大学 远程与继续教育学院
例2-4：一根轻绳穿过定滑轮，轻绳两端各系一质量为m1和m2的物体，且m1?m2，设滑轮的质量不计，滑轮与绳及轴间摩擦不计，定滑轮以加速度a0相对地面向上运动，试求两物体相对定滑轮的加速度大小及绳中张力。 解：（1）研究对象：m1、m2（2）受力分析：m1、m2各受两个力，即重力及绳拉力，如图2-11
（3）牛顿定律
????设m1对定滑轮及地加速度为a1?、a1，m2对定滑轮及地加速度为、aa? 2，2??
?????T T1 2 m1：m1g?T1?m1a1?m1(a1??a0) ?????m2：m2g?T2?m2a2?m2(a2??a0)
y x 如图所选坐标，并注意a1??a2??a?，T1?T2?T，有
?m1g?T?m1(a??a0) ?mg?T?m(a?a)2?0?22m1m22m1m2解得： T?a0 T?a0
m1?m2m1?m2例2-5：如图2-12，质量为M的三角形劈置于水平光滑桌面上，另一质量为m的木块放在M的斜面上，试求M对地的加速度和m对m与M间无摩擦。M的加速度。
m M ? m1 g
图 2-11
? N ? ? a M ? N ?? y ? M g ? m 2 g
? ? ? N x
图 2-1? ? ? a mM 解：（1）研究对象：m、M（2）受力分析：M受m g ?? 三个力，重力Mg，
???正压力N'，地面支持力N''。重力mg，m受两个力，
?图 2-13 M的支持力N， 如图2-13
???标系，设M对地加速度为aM，m对M的加速度为amM，m对地的加速度为am，有
???am?amM?aM 由牛顿得二定律有：
????m ：mg?N?m(amM?aM)
x分量： Nsin??m(amMcos??aM) ① y分量： ?mg?Ncos???mamMsin? ②
M ： ???N'sin???MaM ③
N'?N?由①、②、③有：