第二章 质点动力学 中国石油大学 远程与继续教育学院
(3)弹性力的方向永远垂直于过两个物体接触点的切面。例如，放置在斜面上的物体与斜面之间的弹性力，总是垂直于过接触点的切面，即斜面。斜面对物体的弹性力N垂直与斜面指向上方，而物体对斜面的弹性力N ?也垂直于斜面，但指向下方，如图1所示。
又例如，放置在漏斗中的球与漏斗之间的弹性力，也总是垂直于过接触点的切面，即漏斗侧壁的圆锥面。漏斗对球的弹性力N垂直于圆锥面指向球心，而球对漏斗的弹性力N?也垂直于圆锥面，但指向漏斗外侧，如图2所示。 (4)压力与重力常会被混淆。例如，在桌面上放一木块，有人认为“木块对桌面的压力就是木块的重力”，其理由是木
图1
图2
块对桌面的压力是由木块自身的重力引起的，它们的大小和方向都相同。
这种看法显然是不对的。木块对桌面的压力确实是由木块的重力引起的，它们的大小和方向也确实相同，但不能说压力就是重力。重力是由地球对木块的作用引起的，来自木块与地球之间的万有引力，施力者是地球，受力者是木块。压力是木块对桌面的作用力，来自木块与桌面接触而发生的形变，属于弹性力，施力者是木块，受力者是桌面。可见，压力和重力不是一回事，它们的大小和方向也并不始终相同。对水平桌面而言，木块对桌面的压力和木块的重力大小相等，方向相同，如图3(a)所示。当把木块放于斜面上时，木块所受的重力的大小和方向都保持不变，但木块对斜面的压力不仅方向改变了，大小也改变了，如图3(b)所示 。
图3
(5)处理绳子张力问题时，需提请读者注意的是，在一般情况下，用力拉绳子，绳上各处产生的张力不一定相等。只有在绳子的质量可以忽略时，绳上各处的张力才相等。
摩擦力
当一个物体在另一个物体表面上滑动或有滑动趋势时 , 在这两个物体的接触面上就会产生阻碍物体间作相对滑动的力, 这种力就是摩擦力。正确地辨别和分析摩擦力，对解决很多力学问题都具有重要意义。
(1) 静摩擦力是互相接触的物体之间有相对运动趋势但没发生滑动时出现的摩擦力。静摩擦力的大小是可变的，可以从零至最大静摩擦力?0N之间取任何值，所取值的大小视外力的大小而定。若用较小的力去推放在地面上的木箱，木箱没有滑动，则地面给木箱的摩擦力与该较小的外力相等；若用较大的力去推木箱，木箱仍然没滑动，则地面给木箱的摩擦力就与该较大的外力相等。
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(2)静摩擦力的方向总是与物体相对运动的趋势相反。请读者注意，这里所说的运动趋势，是相对运动的趋势。例如，用传送带将沙砾输送到斜上方的车厢中，沙砾和传送带一起向斜上方运动，因为沙砾相对于传送带有沿传送带下滑的趋势，所以沙砾所受传送带的静摩擦力的方向，应该沿着传送带向上。
(3)滑动摩擦力，是互相接触的物体之间发生相对滑动时出现的摩擦力，其大小等于??。滑动摩擦系数?与静摩擦系数?0都与相互接触物体的质料和表面状况(如粗糙程度、干湿情况等)有关，而滑动摩擦系数 ?还与相互接触物体的相对滑动速度有关。
(4)注意辨别静摩擦力和滑动摩擦力，对于正确处理较为复杂的问题是十分重要的。
让我们看一下车辆行驶时车轮所受地面的摩擦力的情形。在车辆行驶时，地面给车轮的摩擦力是静摩擦力而不是滑动摩擦力。在车辆正常行驶过程中，尽管车辆与地面的接触点在随时间变化，但车轮与地面之间没有相对滑动，只有滚动。所以地面给车轮的摩擦力是静摩擦力。要判断行驶车辆所受的静摩擦力的方向，则必须区别主动轮还是被动轮。动力迫使其旋转的车轮是主动轮，由于车身运动而被拖着前进的车轮是被动轮。对于主动轮，车轮上与地面的接触点相对于地面有向后滑动的趋势，因而地面给予车轮的静摩擦力的方向是向前的，即与车辆前进的方向一致，如图(a)所示。对于被动轮，是被车辆拖着前进的，车轮上与地面的接触点相对于地面有向前滑动的趋势，所以地面给予车轮的静摩擦力的方向是向后的，即与车辆前进的方向相反，如图(b)所示。这样看来，使车辆前进的推动力，就是发动机工作时地面给予主动轮的静摩擦力。
(a) (b)
当快速行驶的车辆急刹车时，由于车辆的惯性，车辆不能立即停止，致使车轮在地面上画出长长的印记，在这段路程中车轮与地面的摩擦力是滑动摩擦力。
取体积相等的一块木块和一块铅块, 将它们放在光滑的水平桌面上, 观察它们在大小相等的外力作用下的运动情形。 实验表明, 在拉动木块和拉动铅块的过程中, 若使弹簧保持相同的伸长量, 木块所获得的加速度远大于铅块所获得的加速度。在大小相等的外力作用下, 若物体获得的加速度大, 表示它的运动状态容易改变, 说明它的惯性小；而若物体获得的加速度小, 表示它的运动状态不容易改变, 说明它的惯性大。实验中的两个物体, 木块惯性小, 而铅块惯性大。
为了量度物体惯性的大小, 我们引入质量这个物理量。物体质量的大小是这样规定的: 各物体的质量, 与它们在大小相等的外力作用下所获得的加速度的大小成反比。若用m表示物体的质量, 用a表示它所获得的加速度的大小, 则有
(1)
用m1和m2分别表示上述实验中木块的质量和铅块的质量, 用a1和a2分别表示木块和铅块在大小相等的外力作用下所获得的加速度值。按照式(1)所表示的质量的定义, 应有
,(2)
此式表示, 任何两个物体, 在大小相等的外力作用下所获得的加速度值之比为常量, 该常量与作用力的大小无关, 只决定于物体自身的特性, 即质量。如果选择其中一个物体为标准物体, 它的质量为 1 千克, 则另一个物体的质量m2可由测得的加速度之比来确定
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(千克) ,(3)
这里, 质量是作为物体惯性的量度而引入的, 故称为惯性质量。(以后在讨论万有引力时, 我们还将引入另一个质量，称为引力质量。)
质量是标量, 是国际单位制中的七个基本物理量之一, 它的单位是kg (千克)。微观物体的质量是用碳同位素子量的十二分之一为单位来量度的, 这个单位称为原子质量单位，用u表示, 它与千克的关系是
原
万有引力定律中的质量是产生引力,且量度引力大小的量,称为引力质量；牛顿第二定律中的质量是产生惯性且量度惯性大小的量，称为惯性质量，可见，物体的惯性质量和引力质量是完全不同的物理现象中分别独立定义的。然而，惯性质量与引力质量两者又是密切联系的，可以证明，选择适当的单位，这两个质量的数值完全相等，并已被实验所证实，所以我们以后将不再区别惯性质量和引力质量。
在经典力学看来，惯性质量和引力质量的相合似乎是偶然的巧合，但两者相合的事实在广义相对论的发展中却起了很重要的作用，在广义相对论发展起来之后，从广义相对论来看，这种相合并非偶然，而是反映了动力学定律与引力现象之间的深刻联系。
内容概要
一、理论框架和逻辑关系
力学的研究对象是机械运动。质点运动学只研究运动的描述问题，不涉及运动状态变化的原因。质点动力学研究质点运动状态的变化和相互作用的关系。
研究质点运动状态变化的规律，首先要定义描述质点“运动的量”的物理量。或者说，要确定用什么量来度量质点运动量的“多少”。由于质点的运动状态是变化的，描述质点“运动的量”的物理量必须满足：当运动状态确定时，描述质点“运动的量”的物理量必须有唯一确定的值；并且，当运动状态变化时，描述质点“运动的量”的物理量的变化遵守确定的规律。如果在一定条件下，这个物理量遵守守恒定律，这个物理
??量必定是非常有用的。本章定义的描述质点“运动的量”的物理量有动量p?mv、角
?????1动量L?r?p?r?mv、动能Ek?mv2。这些物理量从不同方面反映了质点运动的
2属性。
质点运动状态的变化和相互作用的关系的核心规律是牛顿运动定律。牛顿运动定律是经典力学体系的核心。和其他学科的体系一样，通过观察和实验，总结出基本假设或原理。有少数几个基本假设构成学科体系的基础，经过演绎和推理，导出其他定理和结论，而理论的正确性要由实验来验证。从而形成学科的理论体系。经典力学的基本假设就是牛顿运动定律。牛顿运动定律构成了经典力学的基础。
力是物体（质点）与物体（质点）之间的相互作用，力是改变质点运动状态的原因。牛顿运动定律定量的表示了力的本质和力与动量变化率之间的关系。
根据牛顿运动定律，“推导出”了动量定理，角动量定理和动能定理。这些定理分别给出了质点运动状态变化时，动量的变化、角动量的变化、动能的变化遵守的规律。即给出了状态量的变化与相应作用量的关系。这些结论经住了实验的检验，从而证明了牛顿运动定律这些假设的正确性和经典力学的正确性。
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推导这些定理的思路是： 1、动量与动量定理
??dp由牛顿第二定律F?dt，做数学形式的变换得
??Fdt?dp
对于一段有限过程，上式两边积分得到
?上面两式就是动量定理。
2、角动量定理
t2t1??p2???Fdt???dp?p2?p1
p1????dL??即 由角动量的定义L?r?p，先找出dt???dLd??dr??dp???(r?p)??p?r??r?F dtdtdtdt???定义力矩 M?r?F
??dL得到 M?
dt??做数学形式的变换得 Mdt?dL
对于一段有限过程，上式两边积分得到
?t2t1???L2?Mdt??dL?L2?L1
L1上面两式就是角动量定理。
3、动能与动能定理
先定义功：功是力对空间的积累。根据元功的定义，导出元功等于动能的增量。即
????元功 dA?F?dr A??F?dr
L????dv12???dA?F?dr?(F?F)?dr?F?dr?F?ds?mds?d(mv) 由 tnttdt2定义动能 Ek????dv1???ds?mvdv dA?d(mv2) 由元功 dA?F?dr?Fn?dr?Ft?dr?Ftds?mdt2对于一段有限过程，上式两边积分得到
1212A??dA?mv2?mv1
22上面两式称为动能定理。
4、势能
根据作功是否与路径有关可以把力分为保守力和非保守力两类。由于保守力作的功与具体路径无关，只与始末两点的空间位臵有关，所以，保守力作的功必定等于由空间位臵决定某个函数在两点的竖直的差。这个空间位臵的函数称为势能。所以，保守力
??作的功 dA?F?dr??dEp 对于一段有限过程，上式两边积分得到
12mv 2第二章 质点动力学 中国石油大学 远程与继续教育学院
EP1?EP2??F?dr
P1P2这就是势能差的定义。如果取P2为参考点，即取P2点的势能EP2为零，则空间任意点P处的势能为 EP??P2P??F?dr
由势能差和势能的定义可以看出，势能差有绝对的意义，势能只有相对的意义。空间某一点的势能，实际上是该点与零势能参考点的势能差。
5、保守力与势能间的关系
势能的定义给出了保守力与势能之间的积分关系，空间任一点的保守力与该点的势能梯度之间的关系称为保守力与势能之间的微分关系。由直角坐标系中保守力的元功
??dA?F?dr?Fx?dx?Fy?dy?Fz?dz??dEp
?E?E?Edx?dy?dz ?x?y?z??E??E??E?可以得到 F??(dxi?dyj?dzk)
?x?y?z?E?E?E或 Fx??，Fy??，Fz??
?x?z?y二、本章重点
1、牛顿运动定律及其应用。 2、动量定理及其应用。 3、角动量定理及其应用。 4、动能定理及其应用。 5、势能的定义。 三、本章难点
1、牛顿运动定律的应用。 2、动量定理及其应用。
3、角动量的定义，角动量定理及其应用。 4、动能定理及其应用。
5、运动状态、物理条件的数学表示。 6、根据具体情况建立合适的坐标系。 四、应特别注意的问题
1、隔离体法、受力分析及其图示。质点受的力要找全，受力分析图画得要规范。 2、运动状态、物理条件的数学表示方法的分析和经验积累。 五、科学思想方法的学习 科学理论的基本结构
科学理论的建立总是要先有几个基本假设，作为理论的基础，然后应用推理或演义的方法，得到一些定理或结论，把这些定理或结论应用于客观实际，得到的结论称为理论结果。对同一客观实际进行实验测量，得到的结果称为实验结果。把实验结果和理论结果进行比较，这就是对理论的验证。如果理论结果与实验结果总是符合的。就是理论得到了实验的验证。这就是科学理论的基本机构。根据简单性原则，一个理论体系的基本假设越少越好。
基本假设是从大量客观实际总结出来的。他是对的，但不能从理论上推导出来。有的甚至不能由实验直接证明。它的正确性常常是由基本假设推导出来的定理或结论应用于客观实际得到的结果与实验的一致而得到证明的。基本假设常称为定律、原理或公
和 dEP?第二章 质点动力学 中国石油大学 远程与继续教育学院
理等。
牛顿运动定律和万有引力定律是经典力学的基本假设，也是经典力学的基础。把它们应用于质点或质点系得到动量定理、角动量定理、动能定理、功能原理、动量守恒定律、角动量守恒定律和机械能守恒定律等结论。把这些结论应用于实际得到的理论结果与实验结果的比较表明，两者的差别总是在实验误差范围内。从而证明经典力学理论的正确性。
应该注意，所有的理论都有其适用范围，只能在其适用的范围内应用，或者说任何理论都有局限性。没有任何理论是放之四海而皆准的。经典力学的应用范围是：惯性参考系中宏观物体的低速运动。宏观物体高速运动的理论是相对论，微观物体低速运动的理论是量子力学，微观物体高速运动的理论是相对论量子力学。这些理论将是以后学习的内容。