习题 三
（A类）
1. 设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3. 解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)
2. 设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.
解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α) 整理得：α=
3
11(3α1+2α2-5α3),即α= (6,12,18,24) 66=(1,2,3,4)
3.（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）×
4. 判别下列向量组的线性相关性.
（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);
(2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3);
(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);
(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1). 解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.
5. 设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关. 证明：设
k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0,
即
(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0.
由?1,?2,?3线性无关，有
?k1?k2?k3?0,? ?k2?k3?0,?k?0.?3所以k1?k2?k3?0,即?1,?1??2,?1??2??3线性无关.
6.问a为何值时，向量组
?1?(1,2,3)',?2?(3,?1,2)',?3?(2,3,a)'
线性相关，并将?3用?1,?2线性表示.
1解：A?2111?13?7(5?a),当a=5时，?3??1??2.
7732a32
7. 作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵. 解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关,
所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，
?10?1?10）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为??10??10
10??00?. 00??01?8. 设?1,?2,?,?s的秩为r且其中每个向量都可经?1,?2,?,?r线性表出.证明：
?1,?2,?,?r为?1,?2,?,?s的一个极大线性无关组.
【证明】若 ?1,?2,?,?r (1) 线性相关，且不妨设
?1,?2,?,?t (t 是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是?1,?2,?,?s的一个极大无关组，这与?1,?2,?,?s的秩为r矛盾，故?1,?2,?,?r必线性无关且为?1,?2,?,?s的一个极大无关组. 9. 求向量组?1=(1,1,1,k),?2=(1,1,k,1),?3=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把?1,?2,?3按列排成矩阵A，并对其施行初等变换. ?1?1A???1??k11??111??111??11?0??0??0k?112?0101?????????k1??0k?10??0k?10??00??????11??01?k1?k??001?k??001?0?? 1??0?当k=1时，?1,?2,?3的秩为2,?1,?3为其一极大无关组. 当k≠1时，?1,?2,?3线性无关，秩为3，极大无关组为其本身. 10. 确定向量?3?(2,a,b),使向量组?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3与向量组?1=(0,1,1), ?2=(1,2,1),?3=(1,0,?1)的秩相同，且?3可由?1,?2,?3线性表出. 【解】由于 ?0A?(?1,?2,?3)??1???1?1B?(?1,?2,?3)??1???01211111??1??00????1????02??1??0a???b????00?;?1?1??00?? 12?,1b??0a?2??2而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又 a??0112??120?, c?(?1,?2,?3,?3)??120a???0112??????11?1b????000b?a?2??要使?3可由?1,?2,?3线性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即?3=(2,2,0). 11. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组. (1) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7); (2) α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)； (3) α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α5＝(2，1，5，6). 解：（1）把向量组作为列向量组成矩阵Α，应用初等行变换将Α化为最简形矩阵B，则 11???1 4 1??1 0 ???1 4 1??1 4 1??9???5??????2 ?1 ?30 ?9 ?550 1 ????????A??9???0 1 ??B ?1 ?5 ?4??0 ?9 ?5??9??0 0 0??????0 0 0???3 ?6 ?7??0 ?18 ?10??0 0 0?????0 0 0???可知：R（Α）=R（B）=2，B的第1，2列线性无关，由于Α的列向量组与B的对应的列向 量有相同的线性组合关系，故与B对应的Α的第1，2列线性无关，即α1,α2是该向量组的一个极大无关组. （2）同理， ? 6 1 1 7??0 -11 55 7??1 2 -9 0??????? 4 0 4 10 ?8 40 10 -11 55 7??????? 1 2 -9 0???1 2 -9 0???0 -8 40 1?????????1 3 -6 ?10 5 -15 -10 5 -15 -1??????? 2 ?4 22 3??0 ?8 40 1??0 0 0 0????????1 2 -9 0? ??7?0 1 -5 -??1 2 -9 0??1 0 0 0??11??0 1 -5 0??0 1 0 0?????45???0 0 0 -???0 0 10 0???0 0 1 0??B11??????0 0 0 10 0 0 1????24??????0 0 10 ???0 0 0 0??0 0 0 0?11???0 0 0 0???可知R(Α)=R(B)=4,Α的4个列向量线性无关,即α1,α2,α3,α4是该向量组的极大无关组. (3)同理, ?1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2?????????-1 3 0 -1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1??????????, A???2 1 7 2 5??0 1 1 0 1??0 0 0 -4 -4??0 0 0 1 1?????????4 2 14 0 60 2 2 -4 -20 0 0 0 00 0 0 0????????可知R(Α)=R(B)=3,取线性无关组α1,α3,α5为该向量组的一个极大无关组. 12.求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示. (1) α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7); (2) α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7). 解：(1)以向量组为列向量组成Α,应用初等行变换化为最简形式. 3???1 -1 5 -1??1 0 1??1 -1 5 -1??1 -1 5 -1??2??7???????1 1 -2 3??0 2 -7 4?7?0 1 - 2?A?????2???0 1 - 2??B, ?3 -1 8 1??0 2 -7 4??2??0 0 0 0??????0 0 0 0???1 3 -9 7??0 4 -14 8 ??0 0 0 0?????0 0 0 0???可知,α1,α2为向量组的一个极大无关组. ?x1?x2?5?x?x??237?12设α3=x1α1+x2α2,即?解得,x1?,x2?? 22?3x1?x2?8??x1?3x2??9 ?x1?x2??1?x?x?3?12设α4=x3α1+x4α2,即?解得,x1?1,x2?2 ?3x1?x2?1??x1?3x2?737所以a3?a1?a2,a4?a1?2a2. 22?1 1 1 4 -3??1 1 1 4 -3??1 0 2 1 -2???????1 -1 3 -2 -10 -2 2 -6 20 1 -1 3 -1????????B (2)同理, A???2 1 3 5 -5??0 -1 1 -3 1??0 0 0 0 0???????3 1 5 6 -70 -2 2 -6 20 0 0 0 0??????可知, α1、α2可作为Α的一个极大线性无关组，令α3=x1α1+x2α可得：?2 ?x1?x2?1即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, ?x1?x2?3可得：??x1?x2?4即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, x?x??2?122 ?x1?x2??3可得：?即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-α x?x??1?12α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 2 13. 设向量组?1,?2,?,?m与?1,?2,?,?s秩相同且?1,?2,?,?m能经?1,?2,?,?s线性表出.证明?1,?2,?,?m与?1,?2,?,?s等价. 【解】设向量组 ?1,?2,?,?m (1) 与向量组 ?1,?2,?,?s (2) 的极大线性无关组分别为 ?1,?2,?,?r (3) 和 ?1,?2,?,?r (4) 由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即 ?i??aij?jj?1r(i?1,2,?,r).