因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出?j(j?1,2,?,r),即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.
14. 设向量组α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组β1,β2,…,βt的秩为r2,向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩为r3,试证:
max{r1,r2}≤r3≤r1+r2. 证明：设α
s1,…，
?S为α1,α2,…，αs的一个极大线性无关组, βt1,βt2,…,?t为β1,
r1r2β2,…,βt的一个极大线性无关组. μ1，…，?r3为α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一个极大线性无关组，则α
s1,
…，?Sr1和βt1，…，β
tr2
可分别由μ1，…，?r3线性表示，所
s1,
以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，?r3可由α
…，αsr1，βt1，…，βtr2线性
表示及线性无关性可知：r3≤r1+r2.
15. 已知向量组α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩为3,试确定a的值.
解：以向量组为列向量，组成矩阵A，用行初等变换化为最简形式：
?1 a a a??1 a a a??1?3a a a a???????a 1 a aa-1 1?a 0 00 1-a 0 0???????? ?a a 1 a??a-1 0 1-a 0??0 0 1-a 0???????a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a??????由秩A=3.可知a≠1,从而1+3a=0，即a=-
1. 3
16. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.
?25?75(1)??75??2543??1?09453132??； (2)??29454134???322048??13117121?215?1??. 03?13??104?1?2??1????2【解】(1) 矩阵的行向量组??的一个极大无关组为?1,?2,?3;
??3?????4?
??1????2(2) 矩阵的行向量组??的一个极大无关组为?1,?2,?4.
??3?????4?17. 集合V1＝{(x1,x2,?,xn)｜x1,x2,?,xn∈R且x1?x2???xn＝0}是否构成向量空间?为什么?
【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设??(x1,x2,?,xn)?V1,??(y1,y2,?,yn)?V2,k?R)则
????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)
k??(kx1,kx2,?,kxn).因为
(x1?y1)?(x2?y2)???(xn?yn)?(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0, kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0,所以????V1,k??V1,故V1是向量空间.
18. 试证：由?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),生成的向量空间恰为R3. 【证明】把?1,?2,?3排成矩阵A=(?1,?2,?3),则
110A?101??2?0,
011所以?1,?2,?3线性无关，故?1,?2,?3是R3的一个基，因而?1,?2,?3生成的向量空间恰为R3.
?2?(1,1,1,2),?3?19. 求由向量?1?(1,2,1,0),生的向量空间的一组基及其维数.
【解】因为矩阵
(3,4,3,4),?4?(1,1,2,1),?5?(4,5,6,4)所
A?(?1,?2,?3,?4,?5)?1?2???1??01314??11314??11314??0?1?2?1?3??0?1?2?1?3?
1415????????,1326??00012??00012??????2414??02414??00000?∴?1,?2,?4是一组基，其维数是3维的.
20. 设?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,1),?1?(2,?1,3,3),?2?(0,1,?1,?1),证明:
L(?1,?2)?L(?1,?2).
【解】因为矩阵
A?(?1,?2,?1,?2)?1?1???0??010??112?0?1?30?11????13?1??000??13?1??00020? 1??,0??0?由此知向量组?1,?2与向量组?1,?2的秩都是2，并且向量组?1,?2可由向量组?1,?2线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而?1,?2也可由?1,?2线性表出.所以
L(?1,?2)?L(?1,?2).
21. 在R3中求一个向量?，使它在下面两个基
(1)?1?(1,0,1),?2?(?1,0,0)?3?(0,1,1)(2)?1?(0,?1,1),?2?(1,?1,0)?3?(1,0,1)下有相同的坐标.
【解】设?在两组基下的坐标均为(x1,x2,x3)，即
?x1??x1???(?,?,?)?x?,??(?1,?2,?3)?x2123?2??????x3???x3??
?1?10??x1??011??x1??001??x????1?10??x????2????2???101????101????x3????x3??即
?1?2?1??x1??111??x??0, ???2???000????x3??求该齐次线性方程组得通解
x1?k,x2?2k,x3??3k (k为任意实数)
故
??x1?1?x2?2?x3?3?(k,2k,?3k).
22. 验证?1?(1,?1,0),?2?(2,1,3),?3?(3,1,2)为R3的一个基，并把?1?(5,0,7),
?2?(?9,?8,?13)用这个基线性表示.
【解】设
A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2),
又设
?1?x11?1?x21?2?x31?3,?2?x12?1?x22?2?x32?3,
即
?x11(?1,?2)?(?1,?2,?3)??x21??x31记作 B=AX.
则
x12?x22??, x32???1235(A?B)???1110???0327?1235?0327???002?2?9??12r2?r1?????03?8?????13???03?9??1作初等行变换???????0?13?????4???0354527001001?9?r2?r3?????17??r2?r3?13??
23?3?3???1?2??因有A?E,故?1,?2,?3为R3的一个基，且
?23?(?1,?2)?(?1,?2,?3)?3?3?,
?????1?2??即
?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?3?2?2?3.
（B类）
1.A
2.B 3.C 4.D
5.a=2，b=4 6.abc≠0
7.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1) α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论. (2) α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.
解：(1)由向量组α1，α2，α3线性相关，知向量组α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3,
α4线性无关，所以α2, α3线性无关，故α2, α3是α1, α2, α3的极大线性无关组，所以α1能由α2, α3线性表示.
（2）不能.若α4可由α1，α2，α3线性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的极大线性无关组,所以α4可由α2，α3线性表示.与α2，α3，α4线性无关矛盾.
8.若α1,α2,…,αn,αn+1线性相关,但其中任意n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使
k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.
证明:因为α1，α2，…，αn，αn+1线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，…，kn，kn+1使k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0
若k1=0，则k2α2+…+kn+1αn+1=0，由任意n个向量都性线无关，则k2=…=kn+1=0,矛盾.从k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.
9. 设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n＜m,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证明:B的列向量组线性无关. 证明：由第2章知识知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小结所给矩阵秩的性质，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩为n，即线性无关. 习题四
（A类）
1. 用消元法解下列方程组.
?x1?4x2?2x3?3x4?6,?x1?2x2?2x3?2,?2x?2x?4x?2,??124(1) ? (2) ?2x1?5x2?2x3?4,
?x?2x?4x?6;?3x1?2x2?2x3?3x4?1,23?1?x?2x?3x?3x?8;234?1【解】(1)