(1)??(?1,0,3,?5),??(4,?2,0,1);?313??3? 2(2)???,?,,?1?,????,?2,3,?.343??2??2【解】
(1)??,???(?1)?4?0?(?2)?3?0?(?5)?1??9 32?????1?(2)??,?????3???3??(?2)?????3???(?1)?043?3??2??2?2. 把下列向量单位化.
(1) ?＝（3，0，－1，4）； (2) 【解】
?＝（5，1，－2，0）.
(1)e?aaa??a,a??32?02?(?1)2?42?26
?e?(2)a?e?aa?14?1?3,0,,?(3,0,?1,4)???;26262626???a,a??25?1?4?0?30?1?2?1?5,,,0?.(5,1,?2,0)??30?303030?
3. 在R4中求一个单位向量,使它与以下三个向量都正交:α1=(1,1,-1,1), α2=(1,-1,-1,1), α3=(2,1,1,3).
解：设向量a=(x1,x2,x3,x4)与a1,a2,a3都正交，则
?x1?x2?x3?x4?0?x1?4x3??令x3=1得a=(4,0,1,-3) ?x1?x2?x3?x4?0 得：?x2?0?2x?x?x?3x?0?x??3x34?123?4单位化可得单位向量为?1(4,0,1,?3). 26
4. 利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.
(1) ?1 =(0，1，1)′, ?2 =(1,1,0)′, ?3 =(1,0,1)′; (2) ?1 =(1,0,?1,1), ?2 =(1,?1,0,1), ?3 =(?1,1,1,0) 【解】
(1)?1??1?(0,1,1)?,?2,?1??111????2??2??1?(1,1,0)??(0,1,1)???1,,??,2?22???1,?1??3,?1??3,?2????222???3??3??1??2??,?,?;?333???1,?1???2,?2?(2)?1??1?(1,0,?1,1)?,
?2,?1??221???1???2??2??1?(1,?1,0,1)?(1,0,?1,1)??,?1,,?,3?,?33??3?11??3,?1??3,?2????1334???3??3??1??2???,,,?.?5555???1,?1???2,?2?5. 试证，若n维向量?与?正交，则对于任意实数k，l，有k?与l?正交. 【证】?与?正交???,???0.
?k,l?R.∴ k?与l?正交.
6. 下列矩阵是否为正交矩阵.
(k?,l?)?kl??,???0
??1?1(1)???2??1??3?121121??1013???2?10?11?;(2)?2?0102???0?10??1??0?0??. 1??1?【解】
(1) A′A≠E, ∴A不是正交矩阵 (2) A′A=E?A为正交矩阵
7. 设x为n维列向量，x′x＝1，令H＝E－２xx′.求证H是对称的正交矩阵. 【证】
H?E?2xx?H?(E?2xx?)??E??2(xx?)??E?2(xx?)?H∴ H为对称矩阵.
H?H?(E?2xx?)(E?2xx?)?E2?2E(xx?)?2(xx?)E?4(xx?)(xx?) ?E2?4(xx?)?4x(xx?)x??E∴ H是对称正交矩阵.
8. 设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵. 【证】A与B为n阶正交矩阵?A′A=EB′B=E
(AB)(AB)′=AB·(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E
∴ AB也是正交矩阵.
9. 判断下列命题是否正确.
(1) 满足Ax＝?x的x一定是A的特征向量；
(2) 如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值?的特征向量.则k1x1＋k2x2＋…＋krxr也是A对应于?的特征向量；
(3) 实矩阵的特征值一定是实数. 【解】
(1) ╳.Ax=?x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量.
?1???1?????(2) ╳.例如：E3×3x=?x特征值?=1, ?的特征向量有2,?2 ??????3?????3???1???1??0??0?????????则2??2?0,0不是E3×3的特征向量. ??????????3?????3????0????0??(3) ╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数. 10. 求下列矩阵的特征值和特征向量.
?2?3?(1)?,???31??2?20?(3)??21?2?,????0?20??【解】(1)
?6(2)?2???4?2?0(4)??0??024?,32??26??3?1?4? ?1?21??.12?2??112?3?E?A???当????23??1?(??2)(??1)?9?0??2?3??7?0
3?37.23?37时， 2??1?37?2(?E?A)x?0为??3????37?1?3??x1????x1?? ????0得解???6?1?37??x2??x2??1?????2?对应的特征向量为
?37?1???,k??6??1????k?R且k?0.
??1?37?3?372当??时, ?2?3???3??x???1??0
1?37??x2??2??37?1??37?1????其基础解系为?1??,1?,对应的特征向量为k??6?,k?R且k?0. ?6???1??6??
23??2426???6??2023??42
(2)A??E?24?4?2?2???(??2)2(??11)?0,∴ 特征值为
?1??2?2,(i) 当?1??2?2时，
?3?11.
?424??x1??212??x??0?2x?x?2x?0,
123???2???424????x3??其基础解系为
?1???2???,?1??0???∴ 对应于?=2的特征向量为
??1??0?. ????1???1???1???2?k1???k2?0????1???1???0???(ii)当?3?11时,
k1,k2?R且使得特征向量不为0.
??524??x1??2?82??x??0, ???2???42?5????x3??解得方程组的基础解系为
1???(x1,x2,x3)??1,,1?.
?2?T?1?∴ 对应于?3?11的特征向量为k?1,,1?,k?R且k?0.
?2?2??(3)A??E??20?21???20?2??(??2)(??4)(??1)?0 0??T?特征值为?1??2,?2?4,?3?1.
(i) 当?1??2时,
?4?20??x1???23?2??x??0 ???2???0?22????x3???1??.得基础解系为?,11，?
?2??1??2??1??2对应的特征向量为k????1??1???(ii) 当?2?4时，
k?R且k?0.
??2?20??x1???2?3?2??x??0 ???2???0?2?4????x3??其基础解系为(2,?2,1)′,
?2???所以与?2?4对应的特征向量为k??2,????1??(iii) 当?3?1时，
k?R且k?0.