3.1 证明反射定律符合费马原理。
证明：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n1和n2。光线通过第一介质中指定的A点后到达同一介质中指定的B点。为了确定实际光线的路径，通过A,B两点作平面垂直于界面，OO'是它们的交线，则实际光线在界面上的反射点C就可由费马原理来确定，如下图所示。
(1)反证法：如果有一点C'位于线外，则对应于C'，必可在OO'线上找到它的垂足C''.由于AC'?AC'',BC'?BC'',故光线AC'B总是大于光程AC''B而非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射面在同一平面内得证。
(2)在图中建立坐XOY坐标系，则指定点A,B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），未知点C的坐标为（x，0）。C点是在A'、B'之间的，光程必小于C点在A'B'以外的相应光程，即x1?x?v2，于是光程ACB为
nACB?nAC?nCB?n(x?x1)?y1?n(x2?x)?y2
d根据费马原理，它应取极小值，即(n1ACB)?0
dxn1(x?x1)n1(x2?x)??d??n(AC?CB)?n(sini?sini)?0(n1ACB)?ACCBdx(x?x1)2?y12(x2?x)2?y221111111122222 所以当i1'?i1，取的是极值，符合费马原理。
3.2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点发出并会聚倒像点的所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物象公式。 解：略
1
3.3 眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d为30cm。 求物PQ的像与物体PQ之间的距离d2为多少？
sini2'1sini1n'解：玻璃板前表面有折射定律得?，后表面有?，所以
sini1'n'sini21sini2'sini2有 ?sini1'sini1sini2'sini2显然对于平板玻璃来说i2'?i2，因此，由得i1'?i1，说明出?sini1'sini1射光线A2E//QA1，平板玻璃厚度为d出射光线对入社光线的侧移量 l?A1A2sin(i1?i2)
d而A1A2?，所以有
cosi2ddl?sin(i1?i2)?(sini1cosi2?cosi1sini2) cosi2cosi2cosi1?dsini1?dsini2
cosi2cosi1sini2?dsini1(1?)
cosi2sini1sini21?，将其代入上式得 而
sini1n'cosi11cosi11l?dsini1(1?)?dsini1(1?)
2n'cosi2n'1?sini2?dsini1(1?1n'cosi111?()2sin2i1n')
2
n'?sini1则PQ于P’Q’之间的距离为
cosi1cosi1l1d2??dsini1(1?)?d(1?)
2222sini1n'?sini1sini1n'?sini1而且与物体发出的光线入d2的大小不仅与玻璃折射率和玻璃厚度有关，
射玻璃的入射角有关，入射角不同，d2不同。当入射角i1=0时，即垂直入射，则有
11d2?d(1?)?30?(1?)?10cm
n'1.5
3.4 玻璃棱镜的折射棱角A为60度, 对某一波长的光其折射率n为1.6。计算: (1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从A角两侧透过棱镜的最小入射角。
?dsini1(1?cosi122)
??Asin02，得 解：(1)由最小偏向角测折射率的公式n?Asin2??AAnsin?sin0，
22A所以?0?2sin?1(nsin)?A
260??0?2sin?1(1.6?sin)?60?
2?0?2sin?10.8?60??46?16' (2)此时的入射角
??A46?16'?60?i10?0??53?8'
22sini2'1? (3)有折射定律得
sini10'n111sini2'?sini10'?sin90??
n1.61.6
3
1?38?41' 1.6而i2?A?i2'?60??38?41'?21?19'
sini21又因为?，得sini10?nsini2
sini10ni2'?sin?1所以i10?sin?1(nsini2)?sin?1(1.6?sin21?19')?35?34'
3.5 题3.5图表示一种恒偏向棱角镜, 它相当于一个30??60??90?棱镜与一个45??45??90?度度棱镜按图示方式组合在一起。白光沿i方向入射，旋转棱镜改变?1，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r。求证：如果sin?1?垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）。
n，则?1??2，且光束i与r2解：(1)因为sin?1?nsini2，若sin?1?有图中几何关系易得i2'?i2?30?
n1，则sini2?，得i2?30? 22n 2
再有折射定律得sin?2?nsini2'?nsin30??得?2??1，证毕。
(2)又因为?1??1?90?，?2??2?90? 而?2??1，所以?1??2 即得r?i。
3.6 高5cm的物体距凹面镜定点12cm。凹面镜的焦距为10cm，求像的位置及高度，并作出光路图。
4
111?? s'sf'r由题意可知y=5cm，s=-12cm，f'???10cm，代入得
2111?? s'?12?10s'=-60cm
y's'n又由????
ysn'y'?601?? 5?12?1即y'??25cm
3.7 一个5cm高的物体放在球面镜前10cm处成1cm高的虚像，求：(1)此镜的曲率半径；(2)此镜是凸面镜还是凹面镜？
解：由球面反射物象公式
解：由放大倍数??1s'1??得 5?10?1
y's'n?? ysn'
5