北师大版八年级数学下册知识点汇总
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集. 求不等式解集的过程叫解不等式.
由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组 不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.
二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. （注：移项要变号，但不等号不变。）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.不等式的基本性质<1>、 若a>b, 则a+c>b+c；<2>、若a>b, c>0 则ac>bc若c<0, 则ac 不等式的其他性质：反射性：若a>b,则bb,且b>c,则a>c 三、解不等式的步骤:1、去分母; 2、去括号; 3、移项合并同类项; 4、系数化为1。 四、解不等式组的步骤:1、解出不等式的解集2、在同一数轴表示不等式的解集。 五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：（1） 审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)（4）解不等式组；检验并作答。 六、常考题型： 1、 求4x-6 7x-12的非负数解. 2、已知3（x-a）=x-a+1r的解适合2（x-5） 8a,求a 的范围. 3、当m取何值时，3x+m-2（m+2）=3m+x的解在-5和5之间。 第二章 分解因式 一、公式：1、 ma+mb+mc=m（a+b+c）2、a－b=（a+b）（a－b）3、a±2ab+b=（a±b） 二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算. 2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解. 3、ma+mb+mc=m（a+b+c） 4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。 三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式. 提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式. 找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式. 四、分解因式的一般步骤为: （1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式. （2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式. （3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止. 五、形如a+2ab+b或a－2ab+b的式子称为完全平方式. 分解因式的方法：1、提公因式法。2、运用公式法。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 第三章 分式 注：1.对于任意一个分式，分母都不能为零. 2.分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母. 3.分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。（ 中B≠0时，分式有意义；分式 A/B中，当B=0分式无意义;当A=0且B≠0时，分式的值为零。） 常考知识点：1、分式的意义,分式的化简。 2、分式的加减乘除运算。 3、分式方程的解法及其利用分式方程解应用题。 16 第四章 相似图形 一、 定义 表示两个比相等的式子叫比例. 1.如果a与b的比值和c与d的比值相等，那么 或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项. 2.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成 = ，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把 表示成比值k，则 =k或AB=k?CD. 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段. 黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中 ≈0.618. 引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 相似多边形： 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形:各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 二、比例的基本性质：1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 .如果（b,d都不为0），那么ad=bc.2、合比性质：如果 ,那么 。3、等比性质：如果 =?= （b+d+?+n≠0），那么 。4、更比性质：若 那么 。5、反比性质：若 那么 三、求两条线段的比时要注意的问题：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 四、相似三角形（多边形）的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL 六、相似三角形的判定方法，判断方法有：1.三边对应成比例的两个三角形相似；2.两角对应相等的两个三角形相似；3.两边对应成比例且夹角相等；4.定义法: 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。5、 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.1、两个全等三角形一定相似.2、两个等腰直角三角形一定相似.3、两个等边三角形一定相似.4、两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似. 七、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比。 八、常考知识点：1、比例的基本性质，黄金分割比，位似图形的性质。2、相似三角形的性质及判定。相似多边形的性质。 第五章 数据的收集与处理 （1）普查的定义：这种为了一定目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查. （2）总体：其中所要考察对象的全体称为总体。 （3）个体：组成总体的每个考察对象称为个体 （4）抽样调查：（sampling investigation）：从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为抽样调查. （5）样本（sample）：其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 （6） 当总体中的个体数目较多时，为了节省时间、人力、物力，可采用抽样调查.为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性.还要注意关注样本的大小. （7）我们称每个对象出现的次数为频数。而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。 数据波动的统计量：极差：指一组数据中最大数据与最小数据的差。方差：是各个数据与平均数之差的平方的平均数。标准差：方差的算术平方根。识记其计算公式。一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定。还要知平均数，众数，中位数的定义。 刻画平均水平用：平均数，众数，中位数。 刻画离散程度用：极差，方差，标准差。 常考知识点：1、作频数分布表，作频数分布直方图。2、利用方差比较数据的稳定性。3、平均数，中位数， 17 众数，极差，方差，标准差的求法。3、频率，样本的定义 第六章 证明 一、对事情作出判断的句子，就叫做命题. 即：命题是判断一件事情的句子。一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题. 每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成. 条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项. 一般地，命题都可以写成“如果??，那么??”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论.这种例子称为反例。 二、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。 1、证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑”到一起组成一个平角.一般需要作辅助线.既可以作平行线，也可以作一个角等于三角形中的一个角。 2、三角形的外角与它相邻的内角是互为补角. 三、三角形的外角与它不相邻的内角关系是： （1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 四、证明一个命题是真命题的基本步骤是： （1）根据题意，画出图形. （2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 在证明时需注意： （1）在一般情况下，分析的过程不要求写出来. （2）证明中的每一步推理都要有根据. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。30。所对的直角边是斜边的一半。斜边上的高是斜边的一半。 常考知识点： 1、三角形的内角和定理，及三角形外角定理。 2、两直线平行的性质及判定。命题及其条件和结论，真假命题的定义。 18 初中数学函数知识点 1．常量和变量 在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量．在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数． 2．函数 设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某一范围的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数． 3．自变量的取值范围 (1)整式：自变量取一切实数． (2)分式：分母不为零． (3)偶次方根：被开方数为非负数． (4)零指数与负整数指数幂：底数不为零． 4．函数值 对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做x＝a时的函数值． 5．函数的表示法 (1)解析法；(2)列表法；(3)图象法． 6．函数的图象 把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象． 由函数解析式画函数图象的步骤： (1)写出函数解析式及自变量的取值范围； (2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； (3)描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； (4)连线：用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来． 7．一次函数 (1)一次函数 如果y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数． 特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数． (2)一次函数的图象 一次函数y＝kx＋b的图象是一条经过(0，b)点和 点的直线． 特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线． 需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等价于“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象”，因为还有直线y＝m(此时k＝0)和直线x＝n(此时k不存在)，它们不是一次函数图象． (3)一次函数的性质 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标为(0，b)，与x轴的交点坐标为 ． (4)用函数观点看方程(组)与不等式 ①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，当y＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标． 19 ②二元一次方程组 对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标． ③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围． 8．反比例函数 (1)反比例函数 如果 (k是常数，k≠0)，那么y叫做x的反比例函数． (2)反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线． (3)反比例函数的性质 ①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小． ②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大． ③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称． (4)k的两种求法 ①若点(x0，y0)在双曲线 上，则k＝x0y0． ②k的几何意义： 若双曲线 上任一点A(x，y)，AB⊥x轴于B，则S△AOB (5)正比例函数和反比例函数的交点问题 若正比例函数y＝k1x(k1≠0)，反比例函数 ，则当k1k2＜0时，两函数图象无交点； 当k1k2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为 由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称． 1．二次函数 如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数． 几种特殊的二次函数：y＝ax2(a≠0)；y＝ax2＋c(ac≠0)；y＝ax2＋bx(ab≠0)；y＝a(x－h)2(a≠0)． 2．二次函数的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线． 由y＝ax2(a≠0)的图象，通过平移可得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象． 3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质： (1)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是 ，对称轴是直线 ，顶点必在对称轴上； (2)若a＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x＜ 时，y随x的增大而减小；当x＞ 时，y随x的增大而增大；当x＝ ，y有最小值 ； 若a＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x＜ ，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；当x＝ 时，y有最大值 ； (3)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点为(0，c)； (4)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的情况： ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．?＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点 ；当?＝b2－4ac＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是 和 ，这两点的距离为 ；当?当 4．抛物线的平移 抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h、k的值来决定． 20