相交线与平行线 知识点梳理
知识回顾——复习
（一）角的定义：有 的两条 组成的图形叫做角. （二）1平角＝ °，1周角＝ °
（三）如果两个角的和等于 角，那么这两个角互为 角，即其中一个角是另一个角的余角。如果两个角和等于 角，那么这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的 。 （四）等角的补角 ；等角的余角 。
（五）当两条不同的直线只有一个公共点时，我们就称这两条直线 ，这个公共点叫做它们的 。
知识点一：对顶角、邻补角概念及性质
（一）对顶角的概念
定义1：两条直线相交所构成的 个角中，有 但没有 的两个角是对顶角。如图1，∠1的两边是 和 ，∠2的两边是 和 ，所以∠1和∠2是 ，∠1和∠3有一边 是公共的，所以∠1和∠3不是对顶角。
定义2：一个角的两边分别是另一个角的两边的 ，这两个角是对顶角，如图1，∠1的两边OA和OC分别是∠2的两边 和 的反向延长线，所以∠1和∠2是 。 要点诠释：
（1）判定两个角是否是对顶角，不但要看这两个角是否是两条直线 所得到的，还要看这两个角是不是有 而没有 ，符合这两条件时，才能确定这两个角是对顶角，对顶角是 的，是具有特殊位置关系的两个角。
（2）两条直线相交所构成的四个角中，共有 对对顶角，如图1中，∠1和 、∠3和 。 （二）邻补角的概念
定义1：两条直线相交所构成的四个角中，有 且有 的两个角是邻补角。如图2，∠1与∠2有公共顶点 ，有一条公共边 ，所以∠1和 是邻补角。
定义2：邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条 组成的两个角，如图2中的∠1和 。 要点诠释：
“补”就是“ ”， （1）邻补角的“邻”就是“相邻”，就是它们有一条“ ”，就是这两角的另一条边在共同一条 上。（2）判定两个角是否是邻补角，关键要看这两个角的 ，其中一边是 ，另外两边互为 ，如图2，∠1
1
和∠2公共边是 ，OA和 互为反向延长线。
（3）邻补角是 的，是具有特殊位置关系的两个 的角。也就是说，邻补角一定是 的两个角，互补的两个角 是邻补角。
（4）两条直线相交所构成的四个角中，有 对邻补角。如图1，∠1和 ，∠1和 ，∠3和∠2，∠2和 。 （三）对顶角、邻补角的性质
邻补角的性质：邻补角 ；对顶角的性质：对顶角 。 要点诠释：
如图1，∠1与∠3互补且∠1与∠3是邻补角，所以得到邻补角的性质：邻补角 。
如图1，∠1与∠3 ，∠2与∠3 ，即∠3的补角是 与 ，根据“同角的补角相等”可得出 ，这样得到对顶角的性质：对顶角 。
上面这个结论，用推理格式可写成：
∵∠1与∠3互补，∠2与∠3互补（ ）， ∴∠1＝∠2（ ） （四）归纳小结
角的名称 对顶角 ①两条直线相交形成的角 ②有一 ； ③没有 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个 ； ③有一条 邻补角 特 征 性 质 对顶角 ①都是两条直线相交而成的 ； ②都有一 ； ③都是 出现的 _____个 ①有无公共边 ②两直线相交时，对顶角只有 对;邻补角有 相 同 点 不 同 点 知识点二：垂直及相关概念
（一）垂线的概念
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。
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如图3，直线AB、CD互相垂直，记作 或 ，读作“AB垂直于CD”。若垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”。
要点诠释：
（1）两条直线互相垂直是两条直线 的特殊情况，特殊在交角都为______，垂线是其中一条直线对另一条直线的称呼，如图3，AB的垂线是CD，反之CD的垂线是______。
（2）如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互相 。 （3）根据两条直线互相垂直的定义可知，两条直线互相垂直，则四个交角为直角，反之，若两条直线交角为直角，则这两条直线 ，这个推理过程可以写成（如图3）：
∵AB⊥CD
∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠DOA＝90° 反之，∵∠AOC＝90°， ∴AB⊥CD（垂直的定义）。 （二）垂线的画法
过一点画已知直线的垂线，让直角三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的 。 要点诠释：
（1）过直线上一点或直线外一点能画已知直线的 ，并且只能画出 条垂线。
（2）如过一点画射线或线段的垂线时，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线反向延长线上或在线段的延长线上，如图4。
（三）垂线的性质
性质1：过一点有且只有 条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中， 最短。简称： 。
P为直线l外一点，PO⊥l，A、B为直线l上的两点，垂线段的定义：如图5，垂足为O，线段PO叫做 ，线段 与 叫做斜线段。 要点诠释：
（1）画已知直线的垂线可以画出 条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出 条。 （2）直线外一点到这条直线的垂线段只有 条，而斜线段有 条。
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知识点三：点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离，如图5，线段PO的长度，叫做点P到直线l的距离。 要点诠释：
垂线是 ，垂线段特指一条 ，点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，是有单位的。
知识点四：同位角、内错角、同旁内角
如图6，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成 个角，简称为“ _____ ”。
（1）∠1与∠5，这两个角分别在AB、CD的上方，并且在EF的右侧，像这样位置相同的一对角叫做 。例如，∠2与 ，∠3与 ，∠4与 都是同位角。
（2）∠3与∠5，这两个角都在AB、CD之间，并且∠3在EF的左侧，∠5在EF的右侧，像这样的一对角叫做 。例如，∠4与 是内错角。
（3）∠3和∠6在直线AB、CD之间，并且在EF的同一旁，像这样的一对角叫做 。例如，∠4与 是同旁内角。 要点诠释：
（1）同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的 个角，是 出现的。 （2）这三类角必须是由两条直线被第三条直线所截形成的。 （3）同位角特征：截线 旁；被截两线的同方向。
内错角特征：截线 旁；被截两线之间。 同旁内角特征：截线 旁；被截两线之间。
（4）这三类角是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，即∠1、∠2、∠3、∠4中一个与∠5、∠6、∠7、∠8中一个，它们有可能成为同位角、内错角和同旁内角。
（5）两条直线被第三条直线截成的八个角中共有 对同位角， 对内错角， 对同旁内角。 （6）如何巧妙识别三线八角，下面介绍几种方法：
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平行线
知识点一：平行线的概念及表示方法
在同一平面内，不相交的两条直线叫做 。通常用“ ”表示平行，如图1中，直线AB与CD平行，记作 ，如果用l，m表示这两条直线，那么直线l与直线m平行,记作 。
要点诠释：
（1）平行线必须满足两个条件：① ，② ，但要注意直线的特点是可以向__方无限延长，在平面内只能画出有限长，如下图2中直线a，b看上去不相交，但当把它们看作无限长之后会发现它们其实是相交的，因此直线a，b不平行，从平行线的定义中，我们还可以学习到这样的知识：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：① ，② 。
（2）今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的 平行。
知识点二：平行公理及推论
平行公理：经过直线 一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 。
知识点三：平行线判定方法
（一）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线 ，简称： 。如图3。
∵∠1＝∠2（已知）
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）
（二）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线 。简称： 。 即如图3，∵∠2＝∠3（已知）∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行）
证明：∵∠1＝∠3（ ）
又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2。
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）
（三）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线 。简称： 。即如图3，∵∠2+∠4＝180°（已知），∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）
证明：∵∠1+∠4＝180°（ ）
又∵∠2+∠4＝180°∴∠1＝∠2。
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）
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