北京市朝阳区2015届高三上学期期中考试数学理试题
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合A.
A?xx2+x?2?0,B??xx?0???,则集合AB等于
?xx??2? B.?x0?x?1?
C.
?xx?1? D.?x?2?x?1?
p：?x?0，
x?2.已知命题A．
4?4q?x?R，2x0??1.则下列判断正确的是 x；命题：0p是假命题 B．q是真命题
??C．p?(q)是真命题 D．(p)?q是真命题 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是
开始
A.120 B.105 C.15 D.5 k=1,i=1
k=k×i
i=i+2
否
i>5?
是
输出k 结束
第3题图
y?4.曲线
1x与直线x?1,x?e2及x轴所围成的图形的面积是
22e-1 C. e D. 2 eA. B.
5.设a,b是两个非零的平面向量，下列说法正确的是
b=0，则有若a×a+b=a?b；
a?b?ab；
若存在实数λ，使得a＝λb，则④若
a+b=a?b；
a+b=a?b，则存在实数λ，使得a＝λb.
A. ①③ B. ①④ C.②③ D. ②④
6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 A. 3000 B.3300 C.3500 D.4000
7.如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y?Asin??x????b
???????0（其中 ，2），
T/30 20 10 O 第8 10 12 14 6 7题图t/h ℃
则估计中午12时的温度近似为（ ）
A. 30 ℃ B. 27 ℃ C.25 ℃ D.24 ℃
8.设函数f(x),g(x)满足下列条件： （1）对任意实数
x1,x2都有f(x1)?f(x2)?g(x1)?g(x2)?g(x1?x2)；
（2）f(?1)??1，f(0)?0，f(1)?1. 下列四个命题：
22?①g(0)?1； ②g(2)?1； ③f(x)?g(x)?1；④当n?2，n?N时，
(?)?f(x)???gx的最大值为1.
其中所有正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④
nn
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知平面向量a,b满足
a?1，b?(1,1)，且ab，则向量a的坐标是_______.
?1?tan(??)=??(,?)47， 210.已知，则tan?的值是_______;cos?的值是_______.
11.若
?2x?3,x?0，?f(x)??0,x?0，?ax?b,x?0? 是奇函数，则a+b的值是_______.
12.已知等差数列
?an?中，Sn为其前n项和.若a1?a3?a5?a7??4，S8??16,
?a?则公差d?_______；数列n的前______项和最大.
?3x?2y?6?0,??x?y?2?0,?y?2?0.y13.已知x，满足条件?若目标函数z?ax?y(其中a?0)仅在点(2,0)
处取得最大值，则a的取值范围是 .
14.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔塔
AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看
BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，
从两塔底部连线中点C分
BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值
别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔为 ；塔
BB1的高为 m.
B1 A1 ABC
第14题图
三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）
?(,1)已知函数f(x)?3sinx?acosx（x?R）的图象经过点3.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间.
16. （本小题满分13分）
如图，在△ABC中，?ACB为钝角，且CD?3?1． （Ⅰ）求?BCD的大小；
（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积． .
17. （本小题满分14分）
ACDBAB?2,BC?2,A?π6．D为AC延长线上一点，
x2f(x)=,a Rx-a已知函数.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
（Ⅱ）若f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围.
18.（本小题满分14分）
f(x0)?1成立，则称函数x已知函数y?f(x)，若在区间(?2,2)内有且仅有一个0，使得
f(x)具有性质M.
(Ⅰ)若f(x)?sinx?2，判断f(x)是否具有性质M，说明理由；
2f(x)?x?2mx?2m?1具有性质M，试求实数m的取值范围. （Ⅱ）若函数
19. （本小题满分18分） 对于项数为m的有穷数列
{an}，记bk?max{a1,a2,a3,,ak}(k?1,2,3,,m)，即bk为
a1,a2,a3,称为
,ak中的最大值，则称{bn}是{an}的“控制数列”{b}，n各项中不同数值的个数
{an}的“控制阶数”.
{an}的控制数列?bn?为1,3,3,5，写出所有的{an}；
(Ⅰ)若各项均为正整数的数列
211t?(,)a?tn?n，其中42，{bn}是{an}的控制数列，试用t表示 （Ⅱ）若m?100，n(b1?a1)?(b2?a2)?(b3?a3)??(b100?a100)的值；
(Ⅲ)在1,2,3,4,5的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和.
答案
一、选择题（满分40分） 题号 答案 （1） A （2） C （3） C （4） D （5） B （6） B （7） B （8） D 二、填空题（满分30分） 题号 9 10 11 12 13 14 (答案 22,)22 或?34; ?2; 422?(?,?)5 22 ?1 3 ?3?,?????2? 1；453 （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题（满分80分） （15）（本小题满分13分）
?(,1)解：（Ⅰ）由函数f(x)的图象经过点3，
3sin则???acos?133.