解得a?1.
因此f(x)?3sinx?cosx. ……………………….5分 （Ⅱ）f(x)?3sinx?cosx
?2(31sinx?cosx)22
??2sin(x?)6.
所以函数f(x)的最小正周期为T?2?.
2k?+由
?????x??2k??262，k?Z. ?????x?2k??33，k?Z.
2k?+????,2k??33]，k?Z.……………13分
2k?+可得
因此函数f(x)的单调递减区间为[
（16）（本小题满分13分） （Ⅰ）在△ABC 中，
AB?2,A? 因为
π6，BC?2，
BABBC?由正弦定理可得sin?ACBsinA，
222???22π1sin?ACBsin62即，
ACDsin?ACB? 所以
22．
因为?ACB为钝角，所以
?ACB?3π4.
?BCD?所以
π4． ????????????????????????6分
222（Ⅱ）在△BCD 中，由余弦定理可知BD?CB?DC?2CB?DC?cos?BCD，
BD2?(2)2?(3?1)2?2?2?(3?1)?cos即
整理得BD?2．
π4，
在△ABC 中，由余弦定理可知BC?AB?AC?2AB?AC?cosA，
222(2)2?22?AC2?2?2?AC?cos即
2π6，
整理得AC?23AC?2?0．解得AC?3?1． 因为?ACB为钝角，所以AC?AB?2.所以AC?3?1．
所以△ABC的面积
S?1113?1AC?AB?sinA??2?(3?1)??2222．
…………………….13分
17. （本小题满分14分）
xx?a(Ⅰ) f(x)的定义域为.
??f￠(x)=x(x-2a)(x-a)2.
x????,0??0,???￠（1）当a=0时，f(x)?x(x?0),f(x)=1，则，时，f(x)为增
函数；
￠（2）当a>0时，由f(x)>0得，x?2a或x?0，由于此时0?a?2a，
所以x?2a时,f(x)为增函数，x?0时，f(x)为增函数；
￠由f(x)<0得，0?x?2a，考虑定义域，当0?x?a，f(x)为减函数，
a?x?2a时，f(x)为减函数；
￠（3）当a<0时，由f(x)>0得，x?0或x?2a，由于此时2a?a?0，所以
当x<2a时，f(x)为增函数，x?0时，f(x)为增函数.
￠ 由f(x)<0得，2a?x?0，考虑定义域，当2a?x?a,f(x)为减函数，
a?x?0时，f(x)为减函数.
(- ,0),(0,+ 综上，当a=0时，函数f(x)的单调增区间为
x?当a>0时，函数f(x)的单调增区间为
单调减区间为
).
( ,0)，(2a,+ ),
(0,a)，(a,2a).
( ,2a)，(0,+ )
x?当a<0时，函数f(x)的单调增区间为
单调减区间为
(2a,a)，(a,0).
……………………….7分 （Ⅱ）解：
当a?0时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(1,2)单调增，且x?(1,2)时x?a.
当0?2a?1时，即
0?a?12时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(2a,+ )单调增，即在(1,2)单
调增，且x?(1,2)时x?a.
1?a?1(3)当1?2a?2时，即2时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(1,2)上不具有单调性，不合题
意.
(0,a),(a,2a)为减函数，同时需注意(4)当2a?2，即a?1时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在
a??1,2?，满足这样的条件时f(x)在(1,2)单调减，所以此时a?1或a?2.
a?综上所述，
12或a?1或a?2.
……………………….14分 18.（本小题满分14分）
(Ⅰ) f(x)?sinx?2具有性质M. 依题意，若存在
?1x0?(?2,2)，使f(x0)?1，则x0?(?2,2)时有sinx0?2，即
??x0??2，k?Z.由于x0?(?2,2)，2.又因为区间(?2,2)内所以
sinx0??1，
x0?2k??
有且仅有一个
x0???2，使f(x0)?1成立，所以f(x) 具有性质M…5分
2f(x)?x?2mx?2m?1具有性质M，即方程x2?2mx?2m?0 （Ⅱ）依题意，若函数
在(?2,2)上有且只有一个实根.
22h(x)?x?2mx?2mh(x)?x?2mx?2m在(?2,2)上有且只有一个零点. 设，即
解法一：
(1)当?m??2时，即m?2时，可得h(x)在(?2,2)上为增函数，
?m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3? 只需?解得交集得m?2.
（2）当?2??m?2时，即?2?m?2时，若使函数h(x)在(?2,2)上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：
（ⅰ）m?0时，h(x)?x在(?2,2)上有且只有一个零点，符合题意.
2?m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3交集得?. (ⅱ)当?2??m?0即0?m?2时，需?解得??m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3?0??m?2?2?m?0(ⅲ)当时，即时，需?解得交集得
?2?m??23.
(3)当?m?2时，即m??2时，可得h(x)在(?2,2)上为减函数
?m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3交集得m??2. 只需?解得?综上所述，若函数f(x)具有性质M，实数m的取值范围是或m?0
……………………14分
m??23或m?2
解法二： 依题意，
（1）由h(?2)?h(2)?0得，(4?2m)(6m?4)?0，解得同时需要考虑以下三种情况：
m??23或m?2.
??2??m?2,???0,(2) 由?解得m?0.
??2??m?0,?0?m?2,??h(?2)?0,m?2,(3)由?解得?不等式组无解. ??2?m?0,??0??m?2,2?2m??,?m??h(2)?0,解得?3?3. （4）由?解得
综上所述，若函数f(x)具有性质M，实数m的取值范围是或m?0
…………………14分
19. （本小题满分13分）
(Ⅰ)1,3,1,5; 1,3,2,5;1,3,3,5 ……………………….3分
m??23或m?2
?11?t?2?,?a?tn?n?42? （Ⅱ）因为n，
1?(1,2)2t所以.
所以当n?2时，总有又
an?1?an.
a1?t?1，a3?9t?3. a3?a1?8t?2?0.
所以
故n?3时，总有从而只需比较
bn?an.
a1和a2的大小.
?11?t??,?a?a2，即t?1?4t?2，即?32?时， 当1
?an?是递增数列，此时bn?an对一切n?1,2,3,...100均成立.
(b1?a1)?(b2?a2)?(b3?a3)??(b100?a100)?0.
所以
?11?t??,?a?a2时，即t?1?4t?2，即?43?时， 当1
b1?a1，b2?a1，bn?an?n?3?.
(b1?a1)?(b2?a2)?(b3?a3)??(b100?a100)
所以
?0??(t?1)?t(?42)???0?...
0?1?3t.
??11?1?3t,t??,????43???0,t??1,1????32??综上，原式=?(Ⅲ)154.
首项为1的数列有6个； 首项为2的数列有6?2?8个；
.
……………………….9分
首项为3的数列有6?4?2?12个； 首项为4的数列有6?6?6?6?24个；
所以，控制阶数为2的所有数列首项之和6?8?2?12?3?24?4?154. ……………………13分