武汉理工大学毕业设计（论文）
美籍华人NE．Huang于1996年提出了能把复杂信号分解成一种称为本征模态函数（Intrinsic Mode Function，简称为IMF）的单分量信号的算法一经验模态分解（Empirical Mode decomposition，简称为EMD）算法。在此基础上，1998年N E Huang及其同事提出了较为完整的Hilbert-Huang变换信号分析方法。并在1999年对分解后Hilbert频谱的分布做了进一步说明。希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，简称HHT）方法是一种全新的信号处理方法，对于处理非线性、非平稳信号有清晰的物理意义，能够得到信号的时间．频率．能量分布特征，且是一种自适应性信号处理方法。经验模态分解法是NE．Huang等研究非线性问题和希尔伯特变换时提出的，它既能使信号分解具有唯一性又能在时域和频域同时具有良好的局部化性质。信号一旦分解完毕，又可根据工程问题的要求灵活实现重构。
Hlibert谱分析的产生对于突破时域分析发展具有重要意义。时频分析的主要任务是描述信号的频谱分量是怎样随时间变化的，研究并了解时变频率在数学和物理上的概念和含义。时频分析的最终目的是要建立一种分布，以便能在时间和频率上同时表示信号的能量或者强度，使在时间域内难以观察到的信号的特征在频率域内能十分清楚地显示出来，得到这种分布后我们就可以对各种信号进行分析、处理，提取信号中所包含的特征信息，或者综合得到具有期望的时频分布特征的信号。
由于HHT方法的种种特点，很快地，HHT在生物医学、故障诊断、海洋学科、地震工程学以及经济学等各学科得到广泛应用。不论在国际或国内，对这种在信号分析处理中取得突破的方法，各领域学者专家纷纷展开了不同角度的研究。在应用的同时，研究者也不断提出各方面的改进方法，例如对曲线拟合以及对边界问题等所做的研究。N E．Huang本人除了继续致力于HHT更深入的研究外，还积极地将HHT方法引入二维数据处理中，近来研究内容集中在语音分析和声乐信号研究，同时还投入对气候变化起影响的各种自然作用的研究，期望通过分析各种不同但又互有联系数据资料，找到各种影响因素之间内在联系。
1.3 论文的主要内容及结构
本文通过阐述利用HHT方法实现信号去噪的研究现状，分析了传统去噪方法存在的问题及局限性，引出了HHT这一新的去噪方法，分析其原理及实现，介绍其各方面的突破，列出HHT的特点，分析其存在的问题及解决方法。研究HHT在语音去噪中的应用。
论文的主要内容如下：（1）分析HHT的发展和研究现状（2）介绍HHT的方法（3）HHT在信号去噪方面的应用（4）结论。
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第2章 HHT的基本理论
2.1 瞬时频率的概念
信号的瞬时能量与瞬时包络的概念已被广泛接受；然而瞬时频率的概念却一直具有争议性。接受瞬时频率这一概念主要有两个基本困难：首先是受到了傅立叶分析根深蒂固的影响。在传统的傅立叶分析中，频率定义在整个数据长度中具有恒定幅度的正弦或余弦函数。作为这一定义的扩展，瞬时频率的概念也必须与正弦或余弦函数相关。因此，至少需要一个完整周期的正弦与余弦波动来定义局部频率值。根据这个逻辑，少于一个波长的长度将无法给出频率定义，这样的定义对于频率时刻变化的非平稳信号将没有意义。第二个困难在于定义瞬时频率的方法不统一。然而，当可以使数据解析化的Hilbert变换方法产生后，尽管仍存在问题，但困难减轻了。
对任意的时间序列X(t)，Hilbert变换Y(t)定义为：
Y(t)?1?P?m?mX(?)d? （1） t??这里P表示柯西主值，变换对所有Lp成立。根据这一定义，当X(t)形成一个复共轭时，就可得到一个解析信号Z(t) 其中
a(t)?X(t)?Y(t),?(t)?arctan22 Z(t)?X(t)?iY(t)?a(t)ei?(t) （2）
Y(t)X(t) （3）
这样，Hilbert变换提供了一个独特的定义幅度与相位的函数。式（定义Hilbert变换为X(t)与I/t的卷积；因此它强调了X(t)的局部特性，在式（中，极坐标表达式进一步表明了它的局部特性：它是一个幅度与相位变化的三角函数X(t)的最好局部近似。即使是Hilbert变换，用下式定义瞬时频率时仍有很大的争议。
??d?(t)dt （4）
它必须满足一些限制条件，才能得到有意义的瞬时频率。例如：傅立叶变换的实部必须只有正的频率。这个限制条件可以在数学上被证明，但仍是一个全局性的定义。对于数据分析，必须把这些条件转换成物理上可以实现的步骤，用简
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单的方法来实现。因此把这些限制条件由基于全局修改为基于局部。
用一个简单的例子来说明这个限制条件的物理意义。函数
X(t)?sint （5）
它的Hilbert变换是cos(t)
2.2 本征模态函数（IMF）的概念
由于大多数信号或数据不是本征模态函数，在任意时刻数据可能包含多个振荡模式，这也解释了为什么简单的Hilbert变换不能给出一个普通信号的频率内容的完整描述。所以必须把数据分解成本征模态函数，从物理上定义一个有意义的瞬时频率的必要条件是：函数对称于局部零均值，且有相同的极值和过零点。据此，Huang提出了本征模态函数的定义。一个本征模态函数是满足如下两个条件的函数：
（1）在整个数据序列中，极值点的数量与过零点的数量必须相等，或最多相差不能多于一个。
（2）在任一时间点上。信号的局部极大值和局部极小值定义的包络平均值为零。
第一个限定条件是非常明显的；它近似于传统的平稳高斯过程关于窄带的定义。第二个条件是一个新的想法：它把传统的全局限定变为局部限定。这种限定是必须的，它可去除由于波形不对称而造成的瞬时频率的波动。
采用本征模态函数（以下简称IMF）这个名称是因为它代表了信号数据中的振荡模式。IMF在按过零点定义的每一个周期中，只包括一个本征模态的振荡，没有复杂的叠加波存在。如此定义，一个基本的IMF并不限定为窄带信号，也可以是幅度调制和频率调制的。事实上，它可以是非平稳的。
本征模态函数（IMF）概念的提出使得用Hilbert变换定义的瞬时频率具有实际的物理意义，而提出IMF分量的EMD分解方法的出现则使瞬时频率可用于复杂的非平稳信号的分析。
2.3 时间特征尺度
频率与尺度是紧密联系的。各个本征模态函数的特征时间尺度是不同的，Huang等人对信号的时间特征尺度作了如下的研究。
正如Drazin指出的那样，分析数据的首先方法就是用眼观察。这种方法当然是主观的。但一个受过训练的眼睛能够检测数据中难以定量确定的一些趋势和
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模式。即使没受过训练的眼睛，也很容易看出数据的某些特性。例如平稳性、周期性、总体趋势及各种特殊点间时间间隔的尺度。尽管这观察是有效的，但仅凭眼来观察的方法太主观，也不严谨。只是在眼可观察到的信号的各种特征量中，时间尺度是最容易确定的一种。
在解释任何物理数据中，最重要的参数是时间尺度和能量分布。定义局部能量密度并不困难，但至今为止，还没有给出明确的局部时间尺度的定义。在傅立叶分析中，时间尺度被定义为连续的和等幅的三角函数分量的周期。这种定义仅仅给出了时间和能量尺度的全局均值。因此，这些尺度无论在幅度还是在频率上都完全脱离了它们随时间变化的这一事实。
Rice曾用统计的方法对时间尺度进行定义。他假设数据是线性平稳和正态分布的，并计算过零点和极值点的数目。在数学上，对任何数据X(t)，时间尺度定义如下，即满足
X(t)?0 （6） 的所有t的时间位置为过零点。相邻两个过零点的时间间隔就是过零点的时间尺度。同理，满足
X(t)?0 （7） 定义的所有t时刻为函数极值点的时间位置。相邻的极值点的时间间隔就是极值点的时间尺度。
此外，还有一种时间尺度，称为曲率极值点时间尺度，即
??X （8） ?)2/3(1?X的极值点间的时间长度。它是一种隐含的尺度，反映的是一种轻微振荡产生的局部变化的尺度。
我们现在有三种测量时间尺度的方法：相邻两过零点间隔的时间尺度，相邻两极值点间隔的时间尺度，相邻两曲率极值点间隔的时间尺度。三种情况中，时间间隔都是用来局部测量事物时间变化的。局部极值时间间隔和曲率时间间隔尺度代表了整个波形，无论波形是否穿过零线。
Huang等人分析认为，时间尺度代表了信号的局部震荡尺度，并且仅表示一种震荡模式。这种震荡从一个极值点到另一个相反的极值点，因此时间尺度是震荡本身所隐含的尺度，称为特征时间尺度。
EMD方法使用的时间尺度是极值点间隔，它当然提供了一个很好的对时间尺度测量的方法。因为该方法可测量具有多个叠加波的宽带数据。当然它也与我们对数据随时间变化的直觉相一致。
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过零点的定义是数据的一个非常不完善的量度。除非该数据是真正窄带的，也许在两个连续的过零点间有许多极值点。我们的眼对极值点间隔变化很敏感，这些变化对给定的现象提供了更细的量度。当然，极值点间的时间间隔还是有问题。许多现象的四阶矩是不收敛的，所以所希望的极值点数目不可能计算出来，尽管它也许会很容易被数出来。这种矛盾也许是因为傅立叶功率谱是人定义的，许多高频分量是来自非线性非平稳信号中的虚假谐波。极值点间的时间尺度是很重要的，它可用来做分解信号的时间尺度。
2.4 EMD分解方法
EMD是Empirical Mode Decomposition的简写，通常被称为经验模态分解法，是美籍华人NE．Huang在1996年提出的信号分解算法，这主要是从复杂信号里分离出IMF的过程，也称为筛选过程（The Sifting Process）。在此基础上，1998年NE．Huang及其同事提出了较为完整的Hilbert-Huang变换法。EMD是HHT方法中至关重要的一部分。
EMD方法假设任何信号都由不同的本征模态函数（IMF）组成，每个IMF可以是线性的，也可以是非线性的，IMF分量必须满足下面两个条件：一是其极值点个数和过零点数相同或最多相差一个，二是其上下包络关于时间轴局部对称。这样任何一个信号就可以分解为有限个IMF之和。
分解过程基于以下假设：（1）信号最少有一个极大值和一个极小值；（2）时域特性由极值间隔决定；（3）如果数据序列完全缺乏极值但是仅包含拐点，那么它也可通过求导一次或多次来揭示极值点，而最终结果可以由这些成分求积分来获得。具体方法是由一个“筛选”过程完成的：
（1）首先找出s(t)所有的极大值点并将其用三次样条函数拟合成原数据序列的上包络线：以及所有的极小值点并将其用三次样条函数拟合成原数据序列的下包络线；
（2）计算上下包络线的均值，记为m2(t)；将原数据序列s(t)减去该均值即可得到一个去掉低频的新数据序列h1：
s(t)?m1(t)?h1(t)
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（3）因为h1(t)一般仍不是一个IMF分量序列，为此需要对它重复进行上述处理过程。重复进行上述处理过程七次，直到h2(t)符合IMF的定义要求，所得
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