第七章数列与数学归纳法
7.1 数列的概念 组卷人 顾云飞
【基本要求】
⒈ 理解数列的概念及特征． ⒉ 理解数列的通项公式与递推关系． ⒊ 掌握数列的前n项和Sn与通项an的关系． 【基础知识】
⒈ 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列．数列按照单调性分为：常数列、递增数列、递减数列． ⒉ 数列的通项公式：反应了项an与项数n的对应关系可以用一个公式表示，即
an?f?n?
⒊ 数列的递推关系：给出数列的第一项（或前几项），并给出数列的每一项和前一项的关系式．
4. 数列的前n项和Sn与通项an的关系an??【基本方法】 求通项公式的常用方法
1. 已知数列的前几项求数列的一个通项的常用方法：归纳、猜想． ⒉ 根据递推关系求通项公式的方法：累加、累积、换元、待定系数法等． ⒊已知an与Sn之间的关系求通项公式。 【双基回眸】 1. 写出数列??S1?Sn?Sn?1n?1n?2．
14916,,?,，23452的一个可能的通项公式．
⒉数列?an?中，an?n??n，且数列?an?是递增数列，则实数?的范围是 ． ⒊若数列2,5,22,11,.....则25是该数列的______项． 4. 数列?an?的前n项和Sn?2n2?1，则an= ．
?anan为偶数???5.已知数列?an?满足an?1??2，若a3=1，则a1的所有可能的取值为
?an?2n?an为奇数??【例题精析】
1. 根据下列数列的前n项的值，写出各自的一个通项公式：
⑴
1111,,,，261220； ⑵ 3，8，15，24，；
．
⑶ 6，－66，666，－6666，. ； ⑷ 3，5，9，17，33，
⒉ 已知数列的Sn，求通项公式an：
（1） Sn?2n2?1； ⑵ Sn?qn?1
3. 已知数列{an}中，a1?1,an??3SnSn?1
4. 已知数列{an}中，Sn?
5. 已知数列{an}中，
⑴ a1?1，an?1?an?2n，求{an}的通项公式．
2⑵ a1?2，an?1?an，求{an}的通项公式．
(q?0,q?1)．
(n?2)，求an的表达式．
12?an+2?,且an>0，求an的表达式． 8
⑶ a1?2，3an?1?an?4，求{an}的通项公式 （4）a1?1
（5）a1?1
n，求{an}的通项公式 a=2a+2n?1n，
a=，n?12an，求{an}的通项公式 an+27.2 等差数列、等比数列及它们的通项
组卷人 顾云飞
【基本要求】
⒈ 掌握等差数列、等比数列的定义．
⒉ 体会等差数列、等比数列的通项公式的推导过程． ⒊ 掌握等差数列、等比数列的通项公式的求法． ⒋ 进一步运用函数思想解决有关数列的问题．
【基础知识】 ⒈ 等差数列：
⑴ 定义：an?an?1?d(n?2,n?N*,d为常数)；2an?an?1?an?1(n?2,n?N*)．
⑵ 通项公式：an?a1?(n?1)d(n?N*,d为常数)．
⑶ 等差中项：a，A，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。显然A=⑷ 性质：an?am?(n?m)d．
如果m，n，p，q?N*，且m+n=p+q, 则am?an?ap?aq．
d?0时，数列?an?递增；d?0时，数列?an?递减；d?0时数列?an?是常数列．
⒉ 等比数列： ⑴ 定义：
a?b． 2an2?q(n?2,n?N*,q?0)；an?an?1an?1(n?2,n?N*,an?0)． an?1⑵ 通项公式： an?a1qn?1(n?N*,q?0)．
⑶ 等比中项：a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。显然
G??ab．
⑷ 用类比法写出等比数列的性质． 【基本方法】：
⒈ 抓住首项是解决问题的关键．
⒉ 一般已知两个条件，可求等差数列、等比数列的通项公式．
⒊ 巧设求知量：一般三个数成等差数列（等比数列），已知它们的和（积），可直接求出中间量．
⒋ 已知?an?是等差数列，则a??成等比数列；已知?a?是等比数列，则?loga?成等
annan差数列（其中a>0，a?1,an?0）． 【双基回眸】
⒈ 已知a，c，e三数成等差数列，若a=1，e=81，则c=___________；成等比数列则-c=__________．
2.已知a，b，c，d，e成等比数列，若a=1，e=81，则b= ，c= ，d= ． 3.在等比数列中，a1?912,an?,q?，则项数n为_____________． 833a1?a3?a9a2?a4?a10的值为 ．
4. 等差数列?an?的公差d?0，且a1,a3,a9成等比数列，则
5. 等差数列?an?中，ap?q,aq?p,则ap+q= ． 【例题精析】
⒈ 已知等差数列110,116,122,，
⑴ 在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；
⑵ 在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和．
⒉ 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
⒊ 已知等比数列?bn?与数列?an?满足bn?3an,n?N*， ⑴判断?an?是何种数列，并给出证明； ⑵若a8?a13?m，求bb12
⒋ 已知等差数列?an?的公差为d(d?0)在?an?中取出部分项，ak1,aK2比数列akn，已知k1?1,k2?5,k3?17，试求数列?kn?的通项公式．
5.设数列akn式
b20．
akn恰好构成等
????n211?1?为等差数列，bn=??，已知b1+b2+b3=,b1b2b3=，求{an}的通项公
88?2?a
7.3 数列前n项和（一）
组卷人 顾云飞
【基本要求】
⒈ 体验等差数列与等比数列前n项和公式的推导过程； ⒉ 掌握等差数列与等比数列前n项和公式及应用； ⒊ 在解题中体会方程和函数的思想． 【基础知识】
⒈ 等差数列前n项和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d． 22数列{an}成等差数列的充要条件：前n和可写成Sn?an2?bn的形式，其中a，b为常数．
?na1 q?1?⒉ 等比数列前n项和公式：Sn??a1(1?qn)．
?1?q q?1?【基本方法】
⒈ 利用5个基本量做到知三求二； ⒉ 分类讨论求等比数列前n项和；
⒊ 用单调性、二次函数的观点求有关数列的最值． 【双基回眸】
⒈ 等差数列{an}中：a9+a12+a15=60，则S23= _____________． ⒉ 等比数列{an}中：a1?2,a2.a6?256，则S5?___________．
⒊ 等差数列{an}中，a1?0,d?0，且a4?a12，若前n项和Sn取得最小值，则n=_____．
4. 某厂一月份产值为a万元，以后每月比上月产值多b万元，则该厂这一年总产值是_________万元，若每月比上月产值多b%，则该厂一年的总产值是__________万元． 5.等差数列?an?,?bn?的前n项和分别是Sn,Tn，已知
Sn7n+1=n?N??则?Tn4n+27an=___________． bn【例题精析】
⒈ 数列{an}是首项为1000，公比为
1的等比数列，数列{bn}满足101bk?(lga1?lga2?k?lgak)(k?N*)，
⑴ 求数列{bn}的前n项和的最大值； ⑵ 求数列{|bn|}的前n项和Sn?．