4.设{an}是首项为a,公比为q?q>0?的等比数列，前n项和为Sn，若
2Gn=a12+a2a+232，求lim+an+Sn
x??Gn
?1??5.数列?bn?中的任意相邻两项bn,bn+1是方程x2-anx+??=0的两根，其中n?N且
?3?b1=2，求lim?a1+a2+a3++an?
x??n
7.9 数学归纳法 组卷人 顾云飞
【基本要求】
⒈ 理解数学归纳法的原理．
⒉ 会用数学归纳法证明几类与自然数有关的命题． ⒊ 掌握猜想归纳的基本方法． 【基础知识】
⒈ 定义：⑴ 由特殊事例得出一般结论的推理方法叫做归纳法，又叫不完全归纳．
⑵ 以特殊情况下的结论为基础，提出归纳假设（或猜想），然后根据归纳猜想，通过演绎推理，证明结论正确，叫做数学归纳法或完全归纳法．
⒉ 数学归纳法的证明步骤：
⑴ 证明当n取第一个值n0时，命题成立．
⑵ 假设为n=k（k≥n0，k?N）时命题成立．证明当n=k+1时命题也成立。在完成
了这两个步骤以后，就可以判定命题从n0开始的所有自然n都成立．
*⒊ 数学归纳法的应用
⑴ 恒等式证明； ⑵ 整除性证明； ⑶ 数列问题证明； ⑷ 其它． 【基本方法】
⒈ 整除性证明的关键往往在于“凑归纳假设”．
⒉ 猜测数列的通项公式时，一般可以采用化整为零的方法进行猜测．
【双基回眸】
⒈ 下列命题中能用数学归纳法证明的是 （ ）
A．三角形的内角和为180
n?R
1113C．???n?0
n(n?1)(n?1)(n?2)(n?2)(n?3)n(n?3)sin2n?(sin??0,n?N*) D．cos??cos3??...?cos(2n?1)??2sin?111??...?n?N?，那么f(n?1)?f(n)等于 （ ） ⒉ 设f(n)?n?1n?22n111111??A． B． C． D．
2n?22n?12n?22n?12n?22n?1⒊ 下面命题是真命题还是假命题？用数学归纳法证明过程是否正确？如错误，请纠正． ⑴ n?N* 则1?3?5?...?(2n?1)?n2?1．
证明：假设n?k时，等式成立，即1?3?5?...?(2k?1)?k2?1．则当n?k?1
时，
B．(1?n)(1?n?n2?...?n100)?1?n1011?3?5?...?(2k?1)?[2(k?1)?1]?k2?1?2k?1?(k?1)2?1
* ∴ 等式对于一切n?N均成立．
*⑵ n?N，则?1?3?5?...?(?1)n(2n?1)?(?1)nn．
证明：1°当n=1时，左＝－1，右＝－1 ∴ 等式成立．
* 2°假设n=k（k?N）时，等
式
成
立
，
即
?1?3?5?...?(?1)k(2k?1)?(?1)kk 成立，则n=k+1时：
?1?3?5?...?(?1)k(2k?1)?(?1)k?1[2(k?1)?1]?(?1)k?1(k?1)． 根据1°，2°可得：对n?N等式均成立．
⒋ 数列{an}中，a1?1,Sn?n2an,n?N?,则a2,a3,a4分别为________，猜
*an=________．
5.利用数学归纳法证明2>n，第一步应该论证________． 【例题精析】 ⒈ 求证：1?
⒉ 求证：2
n?2nn21111111???...????...?． 2342nn?1n?22n3?5n?21 能被25整除．
⒊ 已知函数f(x)?2，数列{an}的前n项和为Sn且有a1?f(1)，当n≥2时，2?xSn?21?(n2?5n?2)． f(an)2⑴ 计算：a1，a2，a3，a4；
⑵ 求出{an}通项，并证明．
122n2an2?n⒋ 是否存在常数a、b，使等式 对于一切 ??...??1?33?5(2n?1)(2n?1)bn?2n?N* 都成立．
5.数列?an?,?bn?中，a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列 求a2,a3,a4及b2,b3,b4，由此猜想?an?,?bn?的通项公式，并证明你的结论。