攀枝花学院本科毕业设计（论文） 2基于P-Q分解模型的静态安全分析原理
??f1?f1??x?x?1,2,?J????fn?fn??x1?x2?,,?进而有：
?f1??xn?,??? 式(2.27c) ?fn???xn?,??X?J?1F 式(2.28)
类似于一维方程，n维方程的迭代通式可用式（2.29）来表示。
X(t?1)=X(t)-?X(t) 式(2.29a)
?X?J?1F 式(2.29b)
?X?? 式(2.29c)
式（2.29c）中，?为给定的允许误差。 3）Newton-Raphson法求解潮流的原理 由前面已经知道，节点的功率平衡方程：
nn?Pi?Pis??Pij?Pis?Vi?Vj(gijcos?ij?bijsin?ij) 式(2.30)
j?1j?1?Qi?Qis??Qij?Qis?Vi?Vj(bijcos?ij?gijsin?ij) 式(2.31)
j?1j?1nn设方程中的变量为节点电压幅值Vi、Vj、?i、?j 。对系统每个节点的功率平衡方程采用多元函数Taylor公式展开，并略去二阶及其高次项，则有：
??P?H111??????????Q??J111??????N11L11???1??????????V? 式(2.32) ??1?V1????????P??H N ???????Q?=?J L???V/V? 式(2.33) ???????H N ?令Jacobin 矩阵 A=?，则有： ??J L???P???????Q??A??V/V? 式(2.34) ????
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?????1??P??A??V/V???Q? 式(2.35) ????
而Jacobin 矩阵的非对角元素如式（2.36）~（2.39）所示。
Hij???Pi?-VVij(gijsin?ij-bijcos?ij)??j(i?j)
式(2.36)
Nij??PiVj??VVij(gijcos?ij?bijsin?ij)?Vj??Pi?VVij(gijcos?ij?bijsin?ij)??j(i?j) 式(2.37)
Jij?(i?j) 式(2.38)
Lij???QiVj??VVij(gijsin?ij?bijcos?ij)?Vj(i?j) 式(2.39)
Jacobin 矩阵的对角元素如式（2.40）~（2.43）所示。
n??PiHii???Vi?Vj(gijsin?ij?bijcos?ij)(i?j) 式(2.40)
??ij?1j?iNii???PiVi??Vi?Vj(gijcos?ij?bijsin?ij)?2Vi2gij?Vij?ij?i(i?j) 式(2.41)
Jii???Pi??VVij(gijcos?ij?bijsin?ij)??i(i?j) 式(2.42)
n?QiLii?Vi??Vi?Vj(gijsin?ij?bijcos?ij)?2Vi2bii?Vij?1j?i(i?j) 式(2.43)
由于Newton-Raphson 法采用Taylor 公式对方程进行近似线形化，而Taylor公式要求?X是很小的数，即要求在Newton-Raphson中，设定的初值要接近于真值，否则会带来收敛问题[8]。 ②基于P-Q分解模型的潮流算法
P-Q分解法的思想是结合电网实际情况，在Newton-Raphson潮流极坐标算法数学的基础上，针对高压电网的特点进行了如下简化。
in?0,cos?11）由于两节点间的相角差?ij?10～20，认为：s； ij?ij?2）线路参数bij??gij；
3）节点电压一般在额定值附近，即对于i, j两节点有Vi?Vj ；
4）由于输电元件（线路或变压器）中的电抗极大于电阻，所以一个节点传送到另一个节点的有功功率，主要取决于两节点间的电压相角差，而不是两个节
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点的电压幅值。而一个节点传送到另一个节点的无功功率，主要取决于两节点间的电压幅值差，而不受到电压相位差的影响[8]。
基于以上几点假设，将式(2.33)进行简化，可以得到式（2.44）。
??P??H??＝?0??????? 式(2.44) ???Q??0L???V/V?即有：
??P???H?????
??Q???L?[?V/V] 同时有:
H2ii?ViBii Hij?ViVjBij LV2ij?iBij Lij?ViVBjij 当网络拓扑中没有PV节点时，H=L。
?V1VBn1n?H?L??V21B11???? ?VVBn1n1V2nBnn??将式（2.45）和式（2.46）用矩阵乘积形式来表示：
???P1??V0??B1n????1????B11??V10????1????P??n????0V??n????Bn1B?????nn??????0Vn???????n????V10??B 1n??????B11??V??1???0V??n????Bn1B???nn????V???n?????Qn?0????V1????B11B1n?????????Qn????0V??n????Bn1B???V1??? V?nn?????n??进而可以得到节点电压幅值的修正量和节点电压相角的修正量：
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式(2.45)
式(2.46)
式(2.47)
式(2.48)
式(2.49)
式(2.50)
式(2.51) 式(2.52)
式(2.53) 攀枝花学院本科毕业设计（论文） 2基于P-Q分解模型的静态安全分析原理
??V1??B11??????????Vn????Bn1B1n???Bnn???1?V1????00???Vn???1??Q1??B11??????????Qn????Bn1B1n???Bnn???1?1??Q1/V1??? ?????Qn/Vn??式(2.54)
???1??V1???????????n????0?V1?????00???Vn??0???Vn???1?B11????Bn1?B11????Bn1B1n???Bnn??B1n???Bnn???1?V1????00???Vn????P1????????Pn???1?1??P1/V1????????Pn/Vn?? 式(2.55)
得到电压幅值和电压相角的修正量之后，运用迭代法求方程组的思想，解节点
功率平衡方程组。具体步骤如下:
1） 设定变量电压和相角的初值；
2） 运用公式(2.31)，求解有功功率误差量； 3） 运用公式(2.55)，求解相角误差量；
(t?1)(t)(t)4） 修正相角的误差? ； ?????5） 运用公式(2.30)，求解无功功率误差量； 6） 运用公式(2.54)求解电压误差量；
(t?1)(t)(t)7） 修正电压V ； ?V??V8） 依收敛判据?V(t)??1,??(t)??2不收敛，则从2）开始进入下一次循环。
(?1,?2为允许误差)，检查是否收敛，如
针对有n个节点的网络（假定该系统中有一个平衡节点，m个PV节点，n-m-1个PQ节点），分别对Newton-Raphson 法和P-Q分解法的特点进行如下简要分析。
Newton-Raphson 法，用Taylor公式进行近似线形化，精度高，呈平方收敛，由于Jacobin为n-1+n-m-1阶矩阵，且每次运算都需要更新，单次迭代耗时较多。
P-Q分解法在Newton-Raphson 法基础上，结合高压电网特点，做出简化，由于基础模型相同(式（2.7）和式（ 2.8）)，其在相同收敛判据下最终结果和Newton-Raphson法结果有相同的精度。而P-Q分解法把n-1+n-m-1维的每次迭代都变化的矩阵，依高压电网能够实际条件拆解成n-1和n-m-1维的两个常数矩阵，在单次迭代时间上相对于Newton-Raphson法大大提高。虽然单次迭代P-Q分解法精度低于Newton-Raphson法，但在相同网络拓扑下，P-Q分解法在整个潮流计算上消耗机时要少得多，即P-Q分解法用单次计算时间的减少以提高单次运算速度，依相同的收敛判据通过额外的运算达到和Newton-Raphson法相同精度[8]。
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2.2 基于P-Q分解模型的静态安全分析
解决方案采用注入功率模拟线路开断，实际线路并未开断，只是用附加的节点注入功率改变了与节点相连的支路功率，使其和断线后的功率相同。被模拟开断的线路在附加注入功率和原始线路功率的叠加效果让线路传输功率为0，即支路开断了。附加注入功率的求取成为关键，因基于潮流算法的不同，其推导过程不同，但最基本的模拟支路开断的思想是相同的[2]。
模拟线路开断的思想如图2.2~2.4所示[2]。
Pi?jQiPj?jQjji Pi??jQi?Pij?jQij 图2.2 被开断线路断开前的功率分布
Pi?jQii'Pi??jQi'? Pj?jQjPji?jQjiPj??jQj?
j Pi?jQiPj'??jQ'j?
图2.3被开断线路断开后的功率分布
Pj?jQjji ?Pi?j?Qi?Pj?j?Qj'''Pi??jQi'?Pij?jQij图2.2~图2.4中，节点i, j表示被断开支路的首末节点；Pi?jQi，Pj?jQj则分别表示节点i, j实际的注入功率；Pij?jQij，Pji?jQji分别表示从节点i到节点j的传输功率以及从节点j到节点i的传输功率；Pi??jQi?，Pj??jQj?分别表示除ij支路外
'与节点i相连的支路、与节点j相连的支路功率之和；Pi??jQi'?，Pj'??jQ'j?分别表示
ij支路断开后，与与节点i相连的支路、与节点j相连的支路功率之和；?Pi?j?Qi，
'?Pj?j?Qj则分别表示模拟ij支路断开时，节点i、节点j的注入功率增量；Pij'?jQij，'Pji?jQ'ji则表示模拟断线时，支路ij由于节点注入功率的变化而得到的新的支路传
'Pji?jQ'jiPj'??jQ'j?
图2.4对被开断线路进行模拟开断
输功率。
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