不等式选讲（选修4-5）
目 录
(5．0不等式的性质…………………………………) 5．1含有绝对值的不等式……………………………1 5．2不等式的证明……………………………………9 5．3几个重要的不等式………………………………21 5．4数学归纳法………………………………………30 5．5不等式的简单应用………………………………38
小结与复习………………………………………48 复习参考题………………………………………52
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导言：
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
5．1含有绝对值的不等式
在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。
1．含有绝对值的不等式的解法
解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义. 请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即
?x，如果x?0;?x??0，如果x?0;
??x，如果x?0.? 含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式
x?a
的解集是
?a?x?a
它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图1-1 所示。
?a 图1-1 a
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。 例1. 解不等式 3x?1?x?2 解 由原不等式得
?(x?2)?3x?1?x?2
2
也就是不等式组
（1）
3x?1?x?2 （2）
?(x?2)?3x?1由不等式（1）得
1x??.4 x?
由不等式（2）得
3. 2所以原不等式的解集是
?13?x?。 42
第二种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式 x?a
的解集是
x?a 或x??a。
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间
(??,?a),(a,?)的并集。如图1-2所示。
–a a 图1-2
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。 例2. 解不等式 3x?1?2?x
解 由原不等式得
3x?1?2?x （1） 或
3x?1??(2?x) （2） 由不等式（1）得 x?3 41 213或x?. 24 由不等式（2）得 x??所以原不等式的解集是x??注意 例1（第一种类型）的解集是两个不等式（1），（2）的解集的交集。而例2（第
二种类型）的解集是两个不等式（1），（2）的解集的并集。
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练习1（1） 解不等式
1． 22x?1?1. 2. 41?3x?1?0 3. 3?2x?x?4. 4. x?1?2?x.
225． x?2x?4?1 6. x?1?x?2.
有了上面的基础，我们就可进一步探讨一些更为复杂的含有绝对值的不等式的解法。 例3. 解不等式
2x?1?3x?2?5.
解 根据绝对值的意义，我们先求出2x＋1和3x－2的零点，再分区间讨论。容易得出
12112?,分别是2x＋1和3x－2的零点。它们把数轴分成三个区间(??,?),[?,]，232232(,??),即 31122x??,??x?,?x.
22331 在x??时，2x?1??(2x?1),3x?2??(3x?2),原不等式化为不等式
2?(2x?1)?(3x?2)?5
即得到一个不等式组 （1）x??1, 2?(2x?1)?(3x?2)?5.
同样可以得到其它两个不等式组： （2）?12?x?, 23 (2x?1)?(3x?2)?5. （3）
2?x, 3 (2x?1)?(3x?2)?5.
分别解这三个不等式组。第一个不等式组的解是 x??4; 5第二个不等式组无解；第三个不等式组的解是
6x?.
5原不等式组的解是x??46或x?.也就是 554
46(??,?]?[,??).
55 注意 本例用了区间符号来表示不等式的解集，这种表示方法，今后常要应用，应逐渐
熟练使用。
例4 解不等式x?2?x?1?5.
解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）?2)；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，x?4或x??1. 练习1（2） 解下列不等式
1. x?x?2?4 2. x?1?x?3?6. 3. x?x?1?2 4. x?x?4?2.
探究：有时，对一些较为复杂的绝对值不等式的问题，直接分区间讨论的“代数解法”很难凑效，但如果考虑利用绝对值的几何意义，则往往能够收到“出奇制胜”的效果，既快又准地探求到问题的解。试探究解决下述问题：
不等式 x?1?x?3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围.
2．含有绝对值的不等式的证明
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）a?b?a?b. （2）a?b?a?b. （3）a?b?a?b.
（4）
ab?a(b?0). b请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质a?b?a?b和
ab?a(b?0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直b接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明a?b?a?b对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？
显然a?a，当且仅当a?0时等号成立（即在a?0时，等号成立。在a?0时，等号
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