?a?b?0?ab?ab?ab(a从而原不等式得证。 2）商值比较法 设a?b?0,
abbabba?b?ba?b)?0,
?a?1,a?b?0, baabba?ba?()a?b?1.
bab故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
例3．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m?n，问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。
解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有
t1tSS??t2， m?1n?S，
2m2n222SS(m?n)，t2?， m?n2mn2SS(m?n)?从而 t1?t2? m?n2mn可得 t1?S[4mn?(m?n)2] ?
2(m?n)mnS(m?n)2 ??，
2(m?n)mn其中S,m,n都是正数，且m?n。于是t1?t2?0，即 t1?t2。
从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论：如果m?n，甲、乙两人谁先到达指定地点？
例4．设f(x)?2x?1,pq?0,p?q?1.求证；对任意实数a,b，恒有
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2 pf(a)?qf(b)?f(pa?qb). （1） 证明 考虑（1）式两边的差。
pf(a)?qf(b)?f(pa?qb).
＝p(2a2?1)?q(2b2?1)?[2(pa?qb)2?1]
＝2p(1?p)a2?2q(1?q)b2?4pqab?p?q?1. （2）
?p?q?1,pq?0,
?(2)?2pqa2?2pqb2?4pqab ?2pq(a?b)2?0.
即（1）成立。
阅读材料：
琴生不等式
例4中的不等式pf(a)?qf(b)?f(pa?qb)有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。
琴生在1905年给出了一个定义：
设函数f(x)的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数x1,x2，都有 f??x1?x2?f(x1)?f(x2). （1） ??22??则称f(x)为[a,b]上的凸函数。
若把（1）式的不等号反向，则称这样的f(x)为[a,b]上的凹函数。
凸函数的几何意义是：过y?f(x)曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。
其推广形式是：若函数f(x)的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数x1,x2,?xn，都有
f??x1?x2???xn?f(x1)?f(x2)???f(xn). （2） ??nn??当且仅当x1?x2???xn时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 更为一般的情况是：
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设f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点x1,x2，有
pf(x1)?qf(x2)?f(px1?qx2),
其中p,q?R?,p?q?1，则称f(x)是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有
pf(x1)?qf(x2)?f(px1?qx2),则称f(x)是[a,b]上的凹函数。
其推广形式 ，设q1,q2,?,qn?R?,q1?q2???qn?1，f(x)是[a,b]上的凸函数，则对任意x1,x2,?,xn?[a,b],有
f(q1x1?q2x2???qnxn)?q1f(x1)?q2f(x2)???qnf(xn)，
当且仅当x1?x2???xn时等号成立。
若f(x)是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。 练习1
1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1）x与x?x?1；（2）x?x?1与(x?1)2.
22．已知a?1. 求证：（1）a?2a?1; （2）
2222a?1. 21?a3．若a?b?c?0，求证abc?(abc)abca?b?c3.
2．综合法和分析法
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是‘由因及果’，后一种是‘执果索因’。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是‘综合法’；而张三自己找路，直至回到驻地，这是‘分析法’。
以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，A?B?2AB是常常要用到的一个重要不等式。
例1．a,b都是正数。求证：
2222ab??2. ba证明：由重要不等式A?B?2AB可得
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abab??2?2. baba本例的证明是综合法。
例2． 设a?0,b?0，求证a3?b3?a2b?ab2. 证法一 分析法
要证a3?b3?a2b?ab2成立.
只需证(a?b)(a2?ab?b2)?ab(a?b)成立， 又因a?b?0，
只需证a2?ab?b2?ab成立， 又需证a2?2ab?b2?0成立， 即需证(a?b)2?0成立.
而(a?b)2?0显然成立. 由此命题得证。 证法二 综合法
(a?b)2?0?a2?2ab?b2?0?a2?ab?b2?ab
注意到a?0,b?0，即a?b?0，由上式即得(a?b)(a2?ab?b2)?ab(a?b)， 从而a3?b3?a2b?ab2成立。
议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？
例3． 已知a，b，m都是正数，并且a?b.求证：
a?mb?m?ab. （1） 证法一 要证（1），只需证
b(a?m)?a(b?m) （2）
要证（2），只需证
bm?am （3） 要证（3），只需证
b?a （4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 b?a,m是正数，所以 bm?am
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两边同时加上ab得
b(a?m)?a(b?m) 两边同时除以正数b(b?m)得（1）。
读一读：如果用P?Q或Q?P表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是
（1）?(2)?(3)?(4). 而采用综合法的证法二就是
(4)?(3)?(2)?(1).
如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有P?Q,Q?P，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为P?Q.在例2中，由于b,m,b?m都是正数，实际上
(1)?(2)?(3)?(4).
例4．证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长
LL?L?为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为???；周长为L的正方形为，截面
2?4?2??2?L??L??L?积为??。所以本题只需证明??????。
?4??2???4??L?证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为???，截面是正方形
2????L?的水管的截面面积为??。只需证明
?4??L??L???????。 ?2???4?为了证明上式成立，只需证明
2222222?L2L2? 。 2164?两边同乘以正数
4，得 2L15