不成立）。同样，a??a.当且仅当a?0时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a??a、a??a及绝对值的和的性质。
例1．证明 （1）a?b?a?b.（2）a?b?a?b. 证明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以 a?b?a?b?a?b.
如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以 a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b. （2）根据（1）的结果，有 a?b??b?a?b?b, 就是， a?b?b?a. 所以，a?b?a?b. 例2．证明 a?b?a?b?a?b. 证明 ?a?b?b?a?b?b?a, ?a?b?a?b.
在例1（1）中将b换成－b，便得到a?b?a?b. 例3 证明 a?b?a?c?b?c.
证明 a?c?b?c?a?c?(b?c)?a?b.
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段AB?AC?CB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点）， 就得到例2的后半部分。） 探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式a?b?a?b的几何解释？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4 已知 x?a?cc,y?b?. 22 求证 (x?y)?(a?b)?c.
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证明 由例1，(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)
?x?a?y?b. （1）
cc,y?b?, 22cc?x?a?y?b???c. （2）
22?x?a?由（1），（2）得
(x?y)?(a?b)?c. 例5 已知x?aa,y?. 求证： 462x?3y?a.
aa,y?, 46aa ?2x?,3y?.
22证明 ?x?由例1及上式，
2x?3y?2x?3y?aa??a. 22 注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。 练习2
cc,B?b?.求证：(A?B)?(a?b)?c. 22cc2． 已知x?a?,y?b?.求证：2x?3y?2a?3b?c.
461． 已知A?a?链接：
不等式的图形
借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。
1．解不等式x?1?x?2?x?1.
题意即是在数轴上找出到?1?1与?2?2的距离之和不大于到点?3??1的距离的所有流动点x。
首先在数轴上找到点?1?1，?2?2，?3??1（如图）。
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?3 x1 ?1 ?2 x2 x
-1 0 1 2 3
从图上判断，在?1与?2之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到?1与?2的距离和正好是1，而到?3的距离是2?(x?1)?1?x(1?x?2)。
现在让流动点x由点?1向左移动，这样它到点?3的距离变，而到点?1与?2的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于?3??1与?1?1之间的某一个点x1。
由(1?x1)?(2?x1)?x1?(?1),可得x1?2. 3再让流动点x由点?2向右移动，虽然这种点到?1与?2的距离的和及到?3的距离和都在增加，但两相比较，到?1与?2的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点x2而止。
由(x2?1)?(x2?2)?x2?(?1),可得x2?4.从而不等式的解为2．画出不等式x?y?1的图形，并指出其解的范围。
先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：
x?0
，y?0，x?y?1.
2?x?4. 3其图形是由第一象限中直线y?1?x下方的点所组成。
同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式x?y?1的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。
探究：利用不等式的图形解不等式
1. x?1?x?1?1; 2．x?2y?1.
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习题5。1
A组
1．解下列不等式：
1 （2） 1?3x?4?7 212（3） 2x?4?x?1 （4） x?2x?x
2（1） 2?3x?2．解不等式：
（1）2x?1?x?1 （2）3．解不等式：
（1）x?1?x?2?3 （2）x?2?x?1?3?0.
4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式x?4?x?3
5．已知 A?a?x?2?1 x?1sss,B?b?,C?c?. 求证： 333（1）(A?B?C)?(a?b?c)?s; （2）A?B?C)?(a?b?c)?s. 6．已知 x?a,y?a.求证： xy?a.
x?h. yB组
7．已知 x?ch,y?c?0.求证：
8．求证
a?b1?a?b?a1?a?b1?b.
9．已知 a?1,b?1.求证：
a?b?1.
1?ab10．若?,?为任意实数，c为正数，求证： ???2122?(1?c)??(1?)?.
c222 （????????2??，而???c??21?c2c???221?c2）
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5．2 不等式的证明
不等式的证明是数学证明的一个重要部分，也是学习不等式的一块主要内容。证明不等式往往要涉及到多方面的知识和思想方法，具有较强的技巧性，没有固定的程序可循，证法要因题而异，灵活多变。其最基本的方法就是应用不等式的意义及其基本性质和几何背景，并通过代数变换予以论证。常用的方法大致有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法以及数学归纳法等。其中数学归纳法证明不等式的方法将在本书第四章《数学归纳法》部分专门学习，本部分重点学习前几种方法。 1．比较法
不等式本身就是建立在实数可以比较大小的基础上立论、推导、论证的。这就启发我们证明不等式可以在比较上下功夫。
通过比较来论证不等关系成立与否的方法称为比较法。常用的比较法主要包括两种类型。
（1）差值比较型
根据：若a?b?0?a?b；若a?b?0?a?b. （2）商值比较型
根据：若a?0,b?0,a?1?a?b. b例1．若实数x?1，求证：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.
证明：采用差值比较法
3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2
=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x =2(x?x?x?1) =2(x?1)(x?x?1) =2(x?1)[(x?)?].
224242343221223413?x?1,从而(x?1)2?0,且(x?)2??0,
2413? 2(x?1)2[(x?)2?]?0,
24? 3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.
讨论：若题设中去掉x?1这一限制条件，要求证的结论如何变换？
?例2．已知a,b?R,求证ab?ab.
abba本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法
注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设a?b?0.
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