数列的综合应用
一、填空题：
1．数列{?2n2?29n?3}中的最大项的值是__ __．
n?2．已知一个数列的通项为an?sin(??)(n?N*)，再构造一个新数列a1a2,a3a4,a5a6,?，
2则这个数列的前n项和 ．
3．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的值为
．
4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行 成等差数列，每一纵列成等比数列，则a?b?c的值 为 ．
5．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,1 0．5 2 1 a b c Sn)(n?N*)均在 n函数y=3x-2的图象上．则数列?an?的通项公式为 ．
6．在圆x2?y2?5x内，过点(,)有n(n?N)条弦，它们的长构成等差数列，若a1为过该点最短弦的长,an为过该点最长弦的长,公差d?(,)，那么n的值是 ． 7．f(x)?_．
8．在△ABC中，tanA是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是 ．
9．设两个方程x2?ax?1?0,x2?bx?1?0的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab? ． 10．编辑一个运算程序：1&1?2,m&n?k,m&(n?1)?k?3,(m、n、k?N*)，1&2004的输出结果为 ．
11．小正方形按照下图中的规律排列：
1 2 3 4 每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{an}，有以下结论： ①a5?15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列的递推公式为:an?an?1?n，
5322*11532x，x1?1，xn?f(xn?1?1) (n?2,n?N*),则x2、x3、x4分别为__ ，猜想xn?__ x?213(n?N*)其中正确的命题序号为 ．
12．一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（其中包括起点站A和终点站B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站，要卸下前面各站发往该站的邮件一袋，同时又要装上该站发往后面各站的邮件一袋，已知火车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak(k?1,2,…,n)个，则数列ak与
ak?1(2?k?n)的关系为 ．
13．已知函数f(x)?3x2?bx?1是偶函数，g(x)?5x?c是奇函数，正数数列?an?满足a1?1，
2f(an?an?1)?g(an?1an?an)?1，求数列{an}的通项公式为 ．
14．已知{an}是递增数列，且对任意n?N*都有an?n2??n恒成立，则实数?的取值范围是___ ． 二、解答题:
in,s?in,sin?15．已知?,?,?成公比为2的等比数列,其中???0,2??，且s?也成等比数列，求?,?,?的值．
16．设二次方程anx2?an?1x?1?0(n?N)有两根?和?，且满足6??2????6??3, (1)试用an表示an?1；
(2)求证:数列{an?}是等比数列； (3)当a1?237时，求数列?an?的通项公式． 6
17．已知f(x)?a1x?a2x2?3a3x3?…?anxn，且a1,a2,a3,…,an组成等差数列(n为偶数)，又
1f(1)?n2,f(?1)?n，比较f()与3的大小．
2
18．已知数列{an}中的相邻两项a2k?1,a2k是关于x的方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0 的两个根，且
a2k?1?a2k(k?1,2,3,…)．
(1)求a1,a3,a5,a7及a2n(n?4)(不必证明)；
(2)求数列{an}的前2n项和S2n．
19．已知二次函数y?f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f?(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn?
20．已知数列{an}满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*), (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列?an?满足4b1?14b2?1?4bn?1?(an?1)bn(n?N*) (n∈N),证明: {bn}是等差数列．
*
3m?，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?对所有n?N都成立的最小正整数m． anan?12011.数列的综合应用
要求：在等差、等比数列的基本概念，通项公式和前n项和公式及其应用的前提下，灵活运用数列知识，解决有关数列的综合问题，培养观察能力、化归能力和解决实际问题的能力. 1．数列{?2n2?29n?3}中的最大项的值是_108 __．
n?2．已知一个数列的通项为an?sin(??)(n?N*)，再构造一个新数列a1a2,a3a4,a5a6,?，
2则这个数列的前n项和?sin2?．
3．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的值为
-2 ．
4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行 成等差数列，每一纵列成等比数列，则a?b?c的值 9为 ． 8解:a?,b?,c?,从而a?b?c?1 0．5 2 1 a b c n29. 8S5．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,n)(n?N*)均在函数y=3x-2的图象上．则数列{an}的通项
n公式为an?6n?5(n?N*)． SnS)在y?3x?2的图象上,故n?3n?2,Sn?n(3n?2),从而求出an?6n?5. nn536．在圆x2?y2?5x内，过点(,)有n(n?N*)条弦，它们的长构成等差数列，若a1为过该点最短
2211弦的长,an为过该点最长弦的长,公差d?(,)，那么n的值是11,12,13,14,15．
5352555解:x2?y2?5x?(x?)2?y2?? 圆心C(，0),半径R?,
2422PC2)?2，故与PC垂直的弦是最短弦，所以a1?2R2?( 2而过P、C的弦是最长弦，所以an?2R?5,
3由等差数列an?a1?(n?1)d?5?2?(n?1)d?d?，
n?111d?(，)?10?n?16,因n?N*,所以n?11、12、13、14、15．
53x2y2??1上有n不同的点P变式:椭圆1,P2,?,Pn，椭圆的右焦点为F，数列?FPn?是公差大于431的等差数列，则n的最大值为 2000 . 1000x2y2??1?a?2,b?3,c?1,因为Pn在椭圆上，故1?a?c?FPn?a?c?3,由题意解：椭圆4321可得3?1?(n?1)d?d?，因d?，故n?2001，因n?N*，所以n?2000.
n?110002x7．f(x)?，1，1，猜想xn?__ x1?1，xn?f(xn?1?1) (n?2,n?N*),则x2、x3、x4分别为_1，
x?2解:(n,1238141 _．
8．在△ABC中，tanA是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是 锐角三角形 ． 解：由题意得4??4?4tanA?tanA?2?0，9?tan3B?tanB?3?0
1313故tanC??tan(A?B)??tanA?tanB?1?0, ?ABC是锐角三角形．
1?tanAtanB9．设两个方程x2?ax?1?0,x2?bx?1?0的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab?
27． 4解：设方程x2?ax?1?0的两根为x1,x2，x2?bx?1?0的两根为x3,x4,
?x1?x2?a?x3?x4?b1则?，?,不妨设x1,x3,x4,x2成等比数列，则x2?x1?23?x12?,
8?x1x2?1?x3x4?1故ab?(x1?x2)(x3?x4)?54x12?227． 41的等差数列，则b4变式:若x的方程x?x?a?0和x2?x?b?0(a?b)的四个根可组成首项为
的值为
353或. 1441610．编辑一个运算程序：1&1?2,m&n?k,m&(n?1)?k?3,(m、n、k?N*)，1&2004的输出结果为 6011 ．
11．小正方形按照下图中的规律排列：
1 2 3 4 每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{an}，有以下结论： ①a5?15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列的递推公式为:an?an?1?n，
(n?N*)其中正确的命题序号为 (1)(4) ．
12．一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（其中包括起点站A和终点站B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站，要卸下前面各站发往该站的邮件一袋，同时又要装上该站发往后面各站的邮件一袋，已知火车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak(k?1,2,…,n)个，则数列ak与
ak?1(2?k?n)的关系为ak?ak?1?n?1?2k．
解：ak?1?(k?1)?n?k?ak
13．已知函数f(x)?3x2?bx?1是偶函数，g(x)?5x?c是奇函数，正数数列?an?满足a1?1，
22f(an?an?1)?g(an?1an?an)?1，求数列{an}的通项公式为an?()n?1(n?N*)．
3f(x)是偶函数，?b?0?f(x)?3x2?1;g(x)是奇函数?c?0?g(x)?5x，