22f(an?an?1)?g(an?1an?an)?1?3(an?an?1)2?1?5(an?1an?an)?1
a2?(an?an?1)?3(an?an?1)?5an??0?3(an?an?1)?5an?n?1?，
an32??an?是等比数列 ?an?()n?1(n?N*)．
314．已知{an}是递增数列，且对任意n?N*都有an?n2??n恒成立，则实数?的取值范围是
[?3,??)．
解：数列?an?是递增数列，且an?n2??n，则??3?,故???3. 22二、解答题
15. 已知?,?,?成公比为2的等比数列,其中???0,2??，且sin?,sin?,sin?也成等比数列，求
?,?,?的值.
解:由sin?,sin?,sin?成等比数列?sin2??sin??sin?,
又?,?,?成等比数列?sin22??sin??sin4??cos??cos2??cos??1或?
122?4? 或或2?（舍）332?4?8?4?8?16? ?????，??；?????，??.
333333又???0，2?????0（舍）或 16. 设二次方程anx2?an?1x?1?0(n?N)有两根?和?，且满足6??2????6??3, (1)试用an表示an?1；
(2)求证:数列{an?}是等比数列；
237时，求数列?an?的通项公式. 6an?1??????anaa12??3?an?1?n?； 解:(1)由题意得，? 代入条件得，6n?1?anan23????1?an?(3)当a1?22123?1， (2)由(1)可知，(an?1?)?(an?)?23232an?32?? 故数列?an??为等比数列；
3??22112 (3)由(2)可得，an??(a1?)?()n?1?an?()n?.
3322323n17.已知f(x)?a1x?a2x?3a3x???anx，且a1,a2,a3,?,an组成等差数列(n为偶数)，又
1f(1)?n2,f(?1)?n，比较f()与3的大小.
2an?1?思路分析：先用题设条件求出{an}的公差d和首项a1，获得{an}的通项公式，再求出表达式，进而求出f()的值即可作出比较．
12解：设?an?的首项为a1,公差为d，由f(1)?n2，a1?a2?a3???an?n2,
即na1?n(n?1)nddd?n2,a1???n?0,由f(?1)?n可得: 222?a1?a2?a3?a4???an?n，即a?1,故a?2n?1.
f(x)?x?3x2?5x3???(2n?1)xn，由错位相减法得
1112n?3f()?1?2?2()n?1?(2n?1)()n?3?n?3． 222218. 已知数列{an}中的相邻两项a2k?1,a2k是关于x的方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0 的两个根，且a2k?1?a2k(k?1,2,3,…)．
(1)求a1,a3,a5,a7及a2n(n?4)(不必证明)； (2)求数列{an}的前2n项和S2n.
解：（1）方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两根为x1?3k,x2?2k， 当k=1时，x1?3,x2?2，所以a1?2， 当k=2时，x1?6,x2?4，所以a3?4， 当k=3时，x1?9,x2?8，所以a5?8， 当k=４时，x1?12,x2?16，所以a7?12， 因为当n≥4时， 2n?3n,所以a2n?2n(n?4)
3n2?3n?2n?1?2. (2) S2n?a1?a2?…+a2n?(3?6?…+3n)+ (2?4?…+2)?219. 已知二次函数y?f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项
n和为Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn?3m?，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?对所有n?N都成立的最小正整数anan?120m.
解:(1)设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n.
2当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－?3（n?1)?2(n?1)???＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（n?N）
?33111＝＝(?)， anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1n11111?11?1?)?＝（1－故Tn＝）. bi＝?(1?)?(?)?...?(77136n?56n?12?6n?1?2i?1111mm因此，要使(1－)<（n?N?）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所
26n?120220以满足要求的最小正整数m为10.
(2)由(1)得知bn??20. 已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*), (1)求数列?an?的通项公式；
(2)若数列?an?满足4b1?14b2?1?4bn?1?(an?1)bn(n?N*) (n∈N),证明:?bn?是等差数列.
*
解：(1) ?an?1?2an?1(n?N*), ?an?1?1?2(an?1),
??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列． ?an?1?2n. 即 an?2n?1(n?N*).
(k1?k2?...?kn)?n(2)证法一：?4k1?14k2?1...4kn?1?(an?1)kn. ?4
?2nkn.
?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ①
2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn,
即(n?1)bn?1?nbn?2?0,nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.
即 bn?2?2bn?1?bn?0, ?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),
③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,
??bn?是等差数列．
证法二：同证法一，得(n?1)bn?1?nbn?2?0，令n?1,得b1?2. 设b2?2?d(d?R),下面用数学归纳法证明 bn?2?(n?1)d. （1）当n?1,2时，等式成立．
（2）假设当n?k(k?2)时，bk?2?(k?1)d,那么
k2k2bk??[2?(k?1)d]??2?[(k?1)?1]d. k?1k?1k?1k?1这就是说，当n?k?1时，等式也成立． bk?1?根据（1）和（2），可知bn?2?(n?1)d对任何n?N*都成立．
?bn?1?bn?d,??bn?是等差数列.