由于自然数有无限多个，要对每一个自然数都给一个独立的名称和记号是不可能的。现在国际上通用的记数方法是用
0，1，2，?，9
分别表示自然数列里的前十个数。其它自然数则用这些数字按“位值原则”表示出来。即每个数字占有一个位置，叫做“数位”。每个数位表示一种计数单位。同一个（0以外的）数字在所记的数里位置不同，所表示的数值也不同。
在所记的数里，从右向左，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，??。个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，百位的计数单位是百，??。如果一个数是由八个百、三个十和五个一组成的。就把它写作835。一般地，如果一个自然数
N?a0?10n?a1?10n?1?a2?10n?2???an?1?10?an，
其中，0＜a0≤9，0≤a1，?，an≤9。则此自然数就写作a0a1a2?an?1an。因为每两个相邻数位的计数单位的进率都是十，所以这种记数的方法叫做十进制记数法。
7 . “数”和“数字”的区别和联系是什么？
【数字（numerals）】用来记数的符号叫做“数字”。
数和数字是两个不同的概念。数或为单数、或为双数，或为质数、或为合数。数字或为罗马数字、或为阿拉伯数字，或为手写的数字、或为印刷的数字。事实上，数字并不是数，而是表示数的记号。数是数字所表达的内容而不是数字本身。
中国是世界上的文明古国之一。用文字记数在我国已有悠久的历史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已经记有数字。其中记载的最大的数是“三万”，最小的数是“一”。一、十、百、千、万各有专名。特别是当时已经采用了十进制的记数方法，这和现在世界通用的“十进制记数法”是一致的。
8. 说“43”是数而不是数字对吗？
表示数的符号叫做数字。因为“43”是一个数学符号，在十进制记数法中，用来表示由四个十与三个一组成的自然数，所以它是一个数字。是由数字“4”与“3”排成一列组成的“复合数字”。此外，在许多上下文中，43也确实可以表示一个数，由四个十与三个一组成的数。
另一方面，在一定的语言环境中出现的数字“43”，也可以用来表示一个k进制的自然数，即四个k与三个一组成的数。在这里，因为出现了数字“4”，所以k≥5。
总之，“43”既是一个数，也是一个数字。当它在一个语句中出现时，究竟何所指，要看特定的语言环境。
9 . “数的组成”、“数的名称”和“数的读写”有什么联系？
【数的组成】 我们在引导学生认识某个范围内的自然数时，首先要认识这些数的组成。如认识一
- -
6
个千以内的数，要弄清它是由几个百、几个十与几个一组成的。可以先用计数单位“百”一百、一百地数。剩下的不足一百个时，再用计数单位“十”十个、十个地数。最后，如果剩下的不足十个，再一个、一个地数。即用十进制计数法弄清数的组成。
【数的名称】 每一个自然数的名称都是根据它的组成规定的。为此，制定了根据自然数的组成来为它命名的规则。同时，也制定了按十进制位值原则用数字符号0，1，2，?，9来表示一个自然数的规则（“写数规则”），也就是“十进制记数法”。
所谓“读”，就是根据一个数的符号，说出它的名称；所谓“写”，就是根据一个数的名称写出表示这个数的数字符号。“自然数的读写”就是一个数用自然语言和用符号语言的两种表述之间的相互改写。如图（1—4）所示：
命名规则 数 数的组成
十进制计数法
写数规则
（十进制记数法）
图1—4
数的名称 读 写
数的符号
总之，数的组成是用十进制计数法计数的结果，数的组成是给这个数命名的依据，也是用数字符号表示这个数的依据。因而也是数的读写的基础。可见，数的组成是认数教学的核心问题。
10. “十进制”和“二进制”的相同点和不同点有哪些？
【进位制】 如果在所用的一系列计数单位中，每十个某单位都组成一个和它相邻的较高的单位，即所谓“满十进一”，那么这种计数制就是“十进制”。如果是“满二进一”，就是“二进制”，十进制和二进制都是“进位制”。十和二分别是这两种进位制的基数。进位制的基数可以是大于1的任何自然数。
运用十进制计数法，我们可以将任何一个自然数N 表为
a0?10n?a1?10n?1?a2?10n?2???an?1?10?an
其中，0＜a0≤9；0≤a1，?，an≤9。
运用二进制计数法，可将自然数表为
a0?2n?a1?2n?1?a2?2n?2???an?1?2?an
其中，a0=1，0≤a1，?，an≤1。
可见，十进制和二进制都可以将一个自然数分解为不同底数的幂的和。
在十进制记数法中，我们用十种不同的数字0，1，2，?，9按照位值计数法来表示不同的自然数。在二进制记数法中，只用两个不同的数字0，1就能表示任何自然数。表示自然数列中前几个数的二进制数字与十进制数字的对应关系如下表：
十进制数 二进制数 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 ? ? 因此，作为记数法，他们运用的不同数字的个数不同；表示同一个自然数时，所需数位的个数也不
- -
7
同。
11 . “精确数”和“近似数”、“相对误差”和“绝对误差”以及“有效数字”和“可靠数字”有什么区别？什么是科学记数法？
【准确数与近似数】 在计数和计算过程中，有时能得到与实际完全相符的数，这些数叫准确数，如某校的数学教师有15人、6×1.2=7.2等等，但在生产、生活和计算中得到的某些数，往往只是接近于准确数，这种数叫近似数。如“某市人口有75万，”75万就是一个近似数。因为在统计一个城市的人口时，由于居民的迁入和迁出，出生和死亡，人口的数目随时都在变化，很难得出准确的人口数。在计算圆周长的公式里，圆周率?可以用3.14代入计算，3.14也是?的近似数。
可见，准确数与近似数主要区别在于是否与实际情况完全相符。
【不足近似值与过剩近似值】 小于准确数的近似值，叫不足近似值；大于准确数的近似值，叫过剩近似值。例如，3.14、3.142分别是圆周率?的不足近似值和过剩近似值。
【误差、绝对误差和相对误差】 准确数A与它的近似值a之差A－a叫做这个近似数的误差，误差的绝对值A?a叫绝对误差。
近似数的绝对误差除以准确数的绝对值所得的商叫做这个近似数的相对误差。
实际计算时，由于准确数往往不得而知，所以只能用近似数的绝对值代替准确数的绝对值来 计算相对误差。
例如，甲、乙两人量边长为1米的正方形的对角线的长度。甲量得的结果是1.41米，乙量得的结果是1.42米。则两人的测量结果的绝对误差分别是：
2?1.41?0.0042?0.0042（米）； 2?1.42??0.0058?0.0058（米）
相对误差分别是：
0.00420.0058?0.30%和?0.41%
1.41421.4142绝对误差一般用来比较同一个数量的两个不同近似数的精确度，而相对误差则往往用来比较两个不同数量的近似数的精确度。
【有效数字与可靠数字】 一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的半个单位，则从左端开头的第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字都叫这个近似数的有效数字。
例如，取?≈3.14，因为??3.14＜0.01÷2，所以圆周率的近似值3.14有三个有效数字；如果取?≈3.1416，则??3.1416＜0.0001÷2，所以近似值3.1416有5个有效数字。
一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的一个单位，则从左端开头的第一个非零数字起到末位数字止，所有数字都叫这个近似数的可靠数字。
1、用四舍五入法截得的近似数，从它的左面第一个不是零的数字起到末位数字止，所有的数字都是有效数字。也都是可靠数字。
2、用进一法或去尾法截得的近似数，从它的左面第一个不是零的数字起到末位止，所有的数字都是
- -
8
可靠数字。在这些可靠数字中，除末位外，都是有效数字。
【科学计数法】 当近似数是整十、整百、整千、??的数时，如果不加说明，我们就无法确定它们的有效数字和可靠数字。例如，近似数5700，如无说明，我们就不能确定它是用什么方法截取到那个数位得到的，它可能是精确数5698用四舍五入法截取到百位得到的，也可能是5698截取到十位得到的，如果是前一种情况，那么它有两个有效数字（5、7），如果是后一种情况，那么它有三个有效数字（5、7、0），如果它是某个精确数用四舍五入法保留到个位得来的。那么它就有四个有效数字（5、7、0、0）。
为了解决上述矛盾，我们规定：当一个近似数a是整十、整百、整千、??的数时，就把他写成
a?a'?10k的形式，其中a'是由近似数a的有效数字组成的数，且满足1≤a'＜10，k是正整数。例如
用四舍五入法把799.7分别截取到个位、十位、百位的近似数分别是：
精确到个位：799.7≈8.00×102，有3个有效数字； 精确到十位：799.7≈8.0×102，有2个有效数字； 精确到百位：799.7≈8×102，有1个有效数字。
又如，近似数3.6×106有两个有效数字，9.81×105有三个有效数字。
事实上，任何一个近似数都可以写成a?a?10的形式，其中a是由近似数a的有效数字组成的数，且满足1≤a＜10，k是整数，这种记数法叫做科学记数法。
参考书
[1] 《小学数学教材教法》第一册．人民教育出版社1994年12月第一版，P201、227． [2] 《中国中学教学百科全书》（数学卷），沈阳出版社，曹才翰主编．P14．
''k'12 . 截取近似数时，“去尾法”、“进一法”与“四舍五入法”的主要区别是什么？为什么常用“四舍五入法”？
【四舍五入法】 在截取近似数时，通常规定：
·如果去掉的尾数中，最高位数是5或比5大，那么就在留下的数的最低位加一； ·如果去掉的尾数中，最高位数小于5（即是4或比4小），那么留下的数不变。 像这样的截取近似数的方法，叫做四舍五入法。
如圆周率??3.14159265?，用四舍五入法截取两位小数的近似值时，得??3.14；截取四位小数的近似值时，得??3.1416。
【去尾法】 如果为截取近似数而去掉尾数时，不论去掉的尾数的最高位数是否小于5，留下的数都不变，那么这样的截取近似数的方法叫做去尾法。
【进一法】 截取近似数时，如果不论去掉的尾数的最高位数是否小于5，留下的数的最低位都加一，那么这样的截取近似数的方法叫做进一法。
在截取近似数的具体问题中，一般用四舍五入法。但有时要根据具体问题的不同情况运用去尾法或进一法。
例如，做一套服装要用4m布，50m布能做多少套服装。50÷4=12.5 ≈12（套）。在这里，因为服装的套数只能是自然数，所以商12.5必须用去尾法截取成自然数12。在这个问题中，用整数范围内的有余
- -
9
数除法50÷4=12??2更为合适。答案则是“能做12套，还余布料2m”。
又如，3840kg的粮食用每袋可装100kg的口袋来装，需要用多少口袋？3840÷100=38.4≈39（个），尽管最后只剩下了40kg粮食，还得用一个口袋来装。
截取近似数的以上三种方法的主要区别在于所得近似数的误差不同，列表说明如下：
截取的方法 四舍五入法 去 尾 法 进 一 法 所得近似数 3.14 3.14 3.14 原精确数的范围 3.1350?~3.1449? 3.1400?~3.1499? 3.1301?~3.1399? 近似数和原数的 绝对误差不超过 0.005 0.01 0.01 可见，用四舍五入法截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的半个单位；而用去尾法或进一法截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的一个单位。
13 . 在截取一个数的近似数时，为什么不宜连续两次运用“四舍五入法”？
例如，要把724600四舍五入到万位，下面的两种做法得数为什么不同？ 方法一 724600≈720000 方法二 724600≈725000≈730000
方法一符合“四舍五入法”的操作规范的要求，所得近似数的误差不会超过保留部分的末位的半个单位。
方法二连续两次运用了“四舍五入”，不符合操作规范，所得近似数的误差已超过保留的末位的半个单位。事实上，730000并不是724600的四舍五入到万位的近似数，而是725000的四舍五入到万位的近似数。
因此，在实际操作中，不允许像上面那样对于一个数连续两次运用四舍五入法。
14 . “小数”概念如何定义和分类？
【小数】【十进分数】 把单位“1”平均分成10份、100份、1000份、??，这样的1份或几份，
17329、、、??。这种分母是10的正整101001000111数次幂的分数叫做十进分数。这些分数的单位分别是、、、??，每两个相邻的单位间的
1010010001进率都是10。从到整数个位的计数单位1，进率也是10。所以这些分数可以仿照整数的写法，写在整
10可以用分母是10、100、1000、??的分数来表示。如
数个位的右面，并用小圆点“·”隔开，写成0.1、0.07、0.329、??。用这种形式写出的用来表示十分之几、百分之几、千分之几、??的数叫做小数。
【小数点】 在小数中，用来将个位与十分位隔开的小圆点叫做小数点。小数点左边的部分称为这个小数的整数部分；小数点右边的部分称为小数的小数部分。
小数的整数部分可以是0，也可以不是0。
【纯小数与带小数】 根据一个小数的整数部分是不是0可以把小数分为纯小数和带小数。如果小数的整数部分是0，那么这个小数就称为纯小数。如果小数的整数部分不是0，那么这个小数就称为带小
- -
10