数。
如0.1、0.07、0.329等都是纯小娄；1.5、3.14、12.06等都是带小数。
【有限小数与无限小数】 小数还可以根据它的小数部分的位数是不是有限分为有限小数和无限小数。小数部分的位数是有限的这样的小数叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。
由十进分数改写成的小数都是有限小数。
103?0.33? ?0.272?7 311以及圆周率??3.14159265?等则是无限小数。
【无限循环小数和无限不循环小数】 一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，有一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做无限循环小数。（简称循环小数）如果在无限小数的小数部分中，没有依次不断重复出现的数字，那么这样的小数就叫无限不循环小数。如3.33??和0.2727??都是循环小数。圆周率3.14159265??就是一个无限不循环小数。
【循环节】 在循环小数的小数部分中，依次不断地重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 如3.33??的循环节是“3”，0.2727??的循环节是“27”。
为了简便，写循环小数时，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各记一个小圆点。如循环小数3.33??写作3.3，0.2727??写作0.27，6.2416416??写作6.2416.
【纯循环小数和混循环小数】 如果循环小数的循环节是从小数部分的第一位开始的，那么这种循环小数就叫纯循环小数。如果循环小数的循环节不是从小数部分的第一位开始的，就叫混循环小数。
如3.3和0.27都是纯循环小数。6.2416则是混循环小数。
【小数的分类】 按照小数部分的位数是有限还是无限，可以把小数分为有限小数和无限小数。 按照无限小数的小数部分是否有一个或几个数字依次不断地重复出现，可以把无限小数分为（无限）循环小数和无限不循环小数。
按照循环小数的循环节是否从小数部分的第一位开始，又可以把循环小数分为纯循环小数和混循环小数。如下表所示。
有限小数 纯循环小数
小数
（无限）循环小数
无限小数 混循环小数 无限不循环小数
其中，有限小数就是十进分数以及分母不含2、5以外的质因数的最简分数改写成的小数；循环小数是分母含有2、5以外的质因数的最简分数改写成的小数。无限不循环小数就是无理数。
以上是根据小数的小数部分的不同特点所作的分类。此外，根据一个小数的整数部分是不是0，还可以把小数分为纯小数与带小数。
纯小数
小数 带小数
正的纯小数大于0而小于1，正的带小数大于1。
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15 . 整数、小数的计数单位有哪些？其中有没有最小的和最大的？为什么“整数的数位顺序表”与“小数的小数部分的数位顺序表”可以统一起来？
在十进制中，整数的数位有个位、十位、百位、千位、万位、??，它们的计数单位分别是一、十、百、千、万、??。10个一是十，10个十是百，10个百是千，10个千是万，??。最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。越是向左，数位越高，计数单位越大。每个数位上的10个单位，就是相邻高位上的一个单位。
在十进制小数中，小数点右边的数位依次是十分位、百分位、千分位??，它们的计数单位分别是十分之一、百分之一、千分之一，??。其中，最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。它们也是十进制的，即10个百分之一是1个十分之一，10个千分之一是1个百分之一，??。也是“满十进一”。
因为10个十分之一是一，所以小数点右边的十分位的计数单位与小数点左边的个位的计数单位之间也是“满十进一”的关系。因此，整数的数位顺序表和小数的小数部分的数位顺序表可以统一起来，如下表所示：
数位顺序表
数 位 计 数 单 位 千 ? 万 位 千 ? 万 百 万 位 百 万 整 数 部 分 十 万 位 十 万 万 千 百 十 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 小数点 十 小 数 部 分 百 分 位 百 分 之一 千 分 位 千 分 之 一 万 分 位 万 分 之 一 ? · 分 位 十 分 之 一 一（个） ? 数级 ? 万 级 个 级 16. “ 一位数”、“两位数”“三位数”、、……与“一位小数”“两位小数”、、“三位小数”、……各是怎样定义的？为什么0不是一位数？为什么最小的一位数是1而不是0？
【一位数、两位数、三位数、……】 在非零自然数N*中，能用一个数字表示的叫一位数，能用两个数字表示的叫二位数，能用三个数字表示的叫三位数，??，以下类推。
因此，在十进位记数制中，一位数是指1，2，3，??，9；两位数是指10，11，12，??，99；三位数是指100，101，102，??999。以下类推。
以上是针对十进位记数制来说的。对于k进位记数制来说（k≠10），上述解释一位数、两位数、三位数、??的语句虽然仍然适用，但含意已有所变化。
【一位小数、两位小数、三位小数、……】 小数部分只有一个数字的小数叫一位小数，小数部分
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有两个数字的小数叫两位小数，小数部分有三个数字的小数叫三位小数，以下类推。
在十进制小数中，一位小数的末位是十分位，两位小数的末位是百分位，三位小数的末位是千分位，??。
在k进位记数制中，上述解释一位小数、两位小数、三位小数、??的语句仍然适用，但含意已有所变化。
【0不是一位数】 为什么0不是一位数？为什么最小的一位数是1，而不是0？
【有效数字】 实际上，一位数、两位数等自然数都可以用更多的数字来表示。如两位数48可以表示为048；一位数6可以表示为006。为了分化出一位数、两位数等概念，我们约定：在一个自然数中，从计数单位最大的、不是零的数字起到个位止的数字是这个自然数的有效数字。有效数字有几个，这个自然数就称之为几位数。数0也可以用000来表示。事实上，不论用多少个0来表示都行，但其中没有0以外的数字。所以表示0的数码中没有一个有效数字。因此，0不是一位数。当然也不是两位数、三位数??。
不把0看作一位数，也是为了使一些数学规律得以成立。如关于常用对数的首数就有一个这样的定理：“常用对数的首数等于真数的整数位数减一。”所以lg50的首数是1；lg5的首数是0；lg0.5的首数是－1。如果把0看作一位数，那么lg0.5的首数岂不也是0吗？
由于0不是一位数，一位数只有1，2，3，?，9共九个，所以，最大的一位数是9；最小的一位数是1，而不是0。
在二进制中，一位数只有一个，那就是1。 参考书
[1]高等学校教学用书《算术》， M．K．格列本卡著，商务印书馆1957年4月5版，P7。
17 . 怎样认识“小数”与“分数”的关系？
小学生最初认识的“小数”仅仅是有限小数。有限小数相当于十进分数，即分母中不含2、5以外的质因数的最简分数。这时，可以说“小数”是“分数”的种概念，“分数”是“小数”的属概念。“分数”与“小数”是属种关系。当人们试图用分子除以分母的方法将分母中含有2、5以外的质因数的最简分数化为小数时，发现余数会出现相同的，致使商中有一个或几个数字依次不断地重复出现。这时，商的小数部分的位数是无限的。于是导致“小数”概念从“有限小数”发展为包括“有限小数”和“无限小数”。而分数化小数时，要末化为有限小数，要末化为（无限）循环小数。而无限不循环小数则不可能由分数转化而来，它们是分数以外的另一类数。
【无理数与有理数】 无限不循环小数被数学家称之为“无理数”。而整数与分数则统称为“有理数”；
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有理数与无理又统称为“实数”。这些数的关系如下表所示。
整数
有限小数 …… 有理数
小数 （无限）循环小数 ??分数
无限小数 实数
无限不循环小数 …… 无理数
对于发展以后的“小数”概念，其中包括的有限小数与（无限）循环小数相当于“分数”。此外，还有一种无限不循环小数。因此，我们可以说“分数”是“小数”的种概念，“小数”是“分数”的属概念。“小数”与“分数”是属种关系。和前面的结论正好相反。但实际上两者并不矛盾。因为前面的结论中所说的“小数”仅仅指有限小数；后面的结论中所说的“小数”则包括了有限小数与无限小数。“分数”与“有限小数”的属种关系以及“小数”与“分数”的属种关系都可以从上面的表中清楚地看出。
18 . 分数在现代数学中和在小学数学中的定义有什么不同？
古埃及人在公元前17世纪就已经使用分数。我国成书于1世纪的《九章算术》中已载有分数的各种运算。
分数的使用源于除法运算的需要。设p、q都是整数，q?0。则方程qx?p未必有整数解，为了使这个方程总是有解，有必要将整数集扩大成有理数集。
【分数在现代数学中的定义】 我们在整数的有序对（p,q）（q?0）的集合上定义如下等价关系： 设p1,p2?z,q1,q2?z\\{0}。如果p1q2?p2q1，则称(p1,q1)~(p2,q2),z?(z\\{0})关于这个等价关系的等价类称为有理数。（p,q）所在的有理数记为
p。 q令整数p对应于（p，1）所在的等价类，即对应于习惯上
p，就能把整数集嵌入到有理数集中。 1p仍记为p。在有理数集中，整数以外的数称为分数。自然数、整数、分数与有理数的关系1如下表所示：
正整数
自然数
零 整数
负整数 有理数 分数
【分数在小学数学中的定义】 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 分数的一般形式是
pp。这里的p、q都是整数，并且q?0。当p、q都是正整数时，分数不仅可qq以看作把单位“1”平均分成q份，表示这样的p份的数。也可以看成把p个单位平均分成 q份表示这
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样的一份的数。
整数与分数统称为有理数。任何整数p都可以表示为
p的形式。 1对于有理数
ppp来说，如果p?0，=0；如果p?0，则当pq＞0时，称为正有理数；当pq＜0qqq时，称
p为负有理数。所以对于有理数，可以作出以下两种分类： q 正整数 正整数 整数 零 正有理数
负整数 正分数
有理数 零 有理数
负整数 正分数
分数 负有理数 负分数 负分数 【两者的比较】 “分数”在现代数学中的定义和在小学数学中的定义基本上是一致的。 在小学数学中给出的“分数”的定义实质上是正有理数
p的定义，其中，q≥2。整数p可以表示为qpp，不能说明“整数也是分数”。仅仅表示“整数是有理数”。因为并不是分数所特有的表示形式，而1q是有理数所特有的表示形式。
参考书:《中国大百科全书 数学》 P374,603。
19. “因为3?系？
6，所以3也是分数”对吗？整数是不是分数？整数和分数是什么关2因为一个数可以表示为
pp（q≠0）的形式，就说这个数是分数，理由是不充分的。因为，其中p、qqq都是整数，并且q≠0，并不是分数所特有的表示形式，而是有理数特有的表示形式。整数可以表为这样的形式，只能说明整数是有理数。因此，根据
3?369???? 123只能得出“整数3是有理数”。不能得出“3是分数”的结论。 【整数是不是分数？】 有理数 整数
整数 分数 15
p当q|p时是整数，当q| p时才是分数。（图1— ） q有理数
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